Rango de una función racional

Question

Cómo encontrar el rango de la función $$f(x)= \frac{x^2-3x-4}{x^2 - 3x +4}$$ Intenté equiparar la expresión a $y$ y luego multiplicado en cruz $$ y= \frac{x^2-3x-4}{x^2 - 3x +4}$$ $$ y(x^2 - 3x +4)= x^2-3x-4 $$ compró los términos a un lado por lo que se convierte en un cuadrático e hizo Discriminante a cero, pero me parece que no puede llegar a ninguna parte.. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$$\implies x^2(y-1)+x(3-3y)+4y+4=0$$

El discriminante $$=(3-3y)^2-4(y-1)(4y+4)=-(y-1)(7y+25)$$ que necesita ser $\ge0$

Ahora $(x-a)(x-b)\le0, a\le b\implies a\le x\le b$

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Alternativamente,

$$\dfrac{x^2-3x-4}{x^2-3x+4}=1+\dfrac{x^2-3x-4}{x^2-3x+4}-1=1-\dfrac8{x^2-3x+4}$$

Ahora $x^2-3x+4=\dfrac{4x^2-12x+16}4=\dfrac{(2x-3)^2+7}4$

Ahora $0\le(2x-3)^2\le\infty\iff\dfrac74\le x^2-3x+4\le\infty\iff\dfrac47\ge \dfrac1{x^2-3x+4}\ge0$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Dado $$\displaystyle y = \frac{x^2-3x-4}{x^2-3x+4}\Rightarrow yx^2-3yx+4y = x^2-3x-4$$

por lo que obtenemos $$\displaystyle (y-1)x^2-3(y-1)x+4(y+1) = 0$$

Para valores reales de $y\;,$ Entonces la ecuación dada tiene raíces reales. Así que $\bf{Discriminant\geq 0}$

Así que $$9(y-1)^2-16(y-1)\cdot (y+1)\geq 0$$

Así que obtenemos $$(y-1)\left[9(y-1)-16(y+1)\right]\geq 0$$

así que $$(y-1)\left[-7y-25\right]\geq 0$$

Así que $$\displaystyle (y-1)(y+\frac{25}{7})\leq 0$$

Así que $$\displaystyle -\frac{25}{7}\leq y\leq 1\Rightarrow y\in \left[-\frac{25}{7}\;,1\right]$$

Ahora, cuando $y=1\;,$ Entonces $$\displaystyle 1 = \frac{x^2-3x-4}{x^2-3x+4}\Rightarrow -4=+4\; \bf(Not\; Possible)$$

Así que obtenemos $y\neq 1$

Gama So Original $$\displaystyle -\frac{25}{7}\leq y< 1\Rightarrow y\in \left[-\frac{25}{7}\;,1\right)$$

Answer 3

Puedes graficar esta función y ver el rango desde la gráfica. Lee un libro de cálculo sobre cómo graficar una función racional.