Lenguaje semiformal - El universo tiene al menos tres elementos

Question

Primero Me gustaría construir una frase semiformal, de manera que el universum tenga al menos tres elementos. Mi intento:

$$\exists x\exists y\exists z (x\not=y\wedge y\not=z\wedge x\not=z)$$

En segundo lugar ¿existe un conjunto (posiblemente infinito) de frases $T$ que tiene las estructuras infinitas como modelos? Creo que tiene que ver con la definición de verdad de Tarskis. Utilizo la siguiente notación: $M\vDash \phi$ significa $M$ satisface $\phi$ es decir, la frase $\phi$ es válido en $M$

En tercer lugar ¿Cómo argumentarías que no hay una sentencia $\phi$ que tiene las estructuras finitas como modelos, es decir, sin una prueba concreta?

Answer 1

1. Has escrito correctamente una frase que sólo es verdadera si el universo tiene al menos tres elementos.

2. Consideremos ahora el conjunto de todas las frases "Hay al menos una cosa", "Hay al menos dos cosas", "Hay al menos tres cosas", "Hay al menos cuatro cosas", etc. etc. ¿Qué tamaño tendría que tener un modelo para todas estas frases juntas?

3. El teorema de la compacidad dice que si $\Sigma$ es un conjunto inconsistente de oraciones, entonces hay un subconjunto finito de $\Sigma$ que es inconsistente. Esto implica [la prueba se da en la entrada de Wikipedia] que si $\varphi$ tiene modelos finitos grandes y arbitrarios, tiene un modelo infinito. Así que no puede haber un $\varphi$ que tiene como modelos todas las estructuras finitas (por muy grandes que sean) pero no modelos infinitos. Así que lo que hay que entender aquí es la compacidad...