Bunyakovsky conjetura

Question

El Bunyakovsky conjetura afirma lo siguiente :

Deje $f$ ser un polinomio irreducible y $d$ denotar el mcd de un conjunto $f(a)$ donde $a$ ejecuta a través de los números enteros. A continuación, $f(a)/d$ es primordial para una cantidad infinita de números enteros $a$.

He encontrado las declaraciones acerca de las converse:

Si $a$ es lo suficientemente grande, entonces si $f(a)$ es primo, entonces $f$ es irreductible. Este "suficientemente grande" es precisar.

Pero el caso de $d>1$ no se considera!

Quedan dos posibilidades :

1. Existe una traducción a una función $g$$d = 1$, de tal manera que $f$ es irreducible si y sólo si $g$ es irreductible.

2. Si $a$ es lo suficientemente grande, entonces si $f(a)/d$ es primo, entonces $f$ es irreductible.

Cual de las dos posibilidades puede ser utilizado para la comprobación de polinomios con $d > 1$? Y si la segunda posibilidad obras, en las que el número de es lo suficientemente grande ?

Answer 1

Ambas posibilidades de trabajo. Tenga en cuenta que en el caso 1) se puede pasar a $f(aX)/a\in\mathbb Z[X]$ $a=f(0)$ obtener $d=1$ para el nuevo polinomio. Este truco también se asienta 2).

Answer 2

Si $f\in\mathbb Z[X]$ $f(0)\ne 0$ $f(n)=0$ implica $|n|\le|f(0)|$. En consecuencia, si $f$ no tiene ningún entero raíces (como es fácilmente comprobado por Gauss), a continuación, $|f(n)|\le k$ implica $|n|\le |f(0)|+k$.

Ahora suponga $f$ no tiene ningún entero de las raíces, pero es reducible, decir $f(X)=g(X)h(X)$. Supongamos también que thet $f(n)=pd$ $p$ prime para algunos $n$$|n|>|f(0)|+|d|$. A continuación, $|g(0)|,|h(0)|\le |f(0)|$ implica $|g(n)|>|d|$$|h(n)|>|d|$, pero uno de los factores $a,b$ de cualquier factorización $pd=ab$ debe $\le |d|$ en valor absoluto - contradicción.

Comentario: no me tienen en el argumento anterior para asumir ese $d=\gcd\{f(a)\mid a\in\mathbb Z\}$.