La Teoría De Los Números Del Problema.

Question

K $>$ L $>$ M $>$ N son enteros positivos tales que a$,$ KM $+$ LN $=$ (K$+$L$-$M$+$N)($-$K$+$L$+$M$+$N)$.$ Demostrar que KL $+$ MN no es primo.

Estoy perplejo :/

Answer 1

Este es el problema 6 de la crisis de 2001 Intnernational Olimpiada de Matemáticas. Eso debería ser suficiente para que google la respuesta (o tal vez la vergüenza en no hacerlo).

Answer 2

$L-M$ es positivo, $K+L-M+N $ es positivo, y por lo tanto el segundo factor $-K + L + M +N $ también es positiva. Ahora suponga $ KL + MN $ es primo. Entonces uno de los factores es $1$ y la otra es $KL + MN.$ Desde $ K+L - M + N > K+N > 1 $ tenemos $$ K + L - M + N = KL + MN.$$

Este reorganiza a $ L-M = K(L-1) + (M-1)N$ lo cual es absurdo, puesto que el lado izquierdo es menor que $L$, mientras que el lado derecho es, al menos,$K > L.$, con Lo que la suposición conduce a una contradicción y el número es primo.

EDIT: Ahora que me doy cuenta de que este es un Problema 6 de la una de la OMI de la competencia, sospecho que me he hecho un grave error en mi respuesta anterior, pero no puedo ver. Agradecería si alguien pudiera punto.