Tangente paquete de la esfera como un complejo colector de

Question

Estoy tratando de demostrar que la tangente paquete, $TS^n$ de la n-esfera $S^n$ es diffeomorphic para el conjunto de $\sum z_i^2 = 1$$\mathbb{C}^{n+1}$.

Es relativamente sencillo ver que la tangente del paquete de la esfera puede ser identificado con:

$$TS^n = \{ (x_0,...,x_n,y_0,...,y_n) : x_i,y_i \in \mathbb{R}, \sum x_i^2 = 1, \sum x_i y_i = 0 \}$$

Ahora para mostrar este diffeomorphism he probado la cosa natural de la escritura $z_j = x_j + iy_j$, pero ahora tenemos $\sum z_j^2 = 1 - \sum y_i^2$, por lo que sólo se encuentra en el subespacio si restringimos la tangente espacios de la esfera. Me pregunto cómo escribir un mapa diferente que hace esto?

Yo también estoy un poco preocupado acerca de cómo mostrar un mapa es una diffeomorphism, ¿cómo podría yo demostrar que la identificación he hecho anteriormente como la tangente paquete incrustado en $\mathbb{R}^{2(n+1)}$ es suave? Es probablemente obvio, pero yo estoy luchando para ver!

Gracias por la ayuda

Answer 1

Deje $Q\subseteq\mathbf C^{n+1}$ ser afín quadric definido por la ecuación $\sum z_i^2=1$. El mapa $$ f\colon TS^n\rightarrow Q $$ definido por $$ z=f(x,y)=x\sqrt{1+||y||^2}+y\sqrt{-1} $$ hace el trabajo, donde $||y||^2=\sum y_i^2$. De hecho, uno ha $f(x,y)\in Q$ desde $$ \sum_{i=0}^n z_i^2=\sum_{i=0}^n x_i^2(1+||y||^2)-y^2_i+2x_iy_i\sqrt{-1}= 1+||y||^2-||y||^2+2\sqrt{-1}\sum x_iy_i=1, $$ para $(x,y)\in TS^n$.

El mapa de $f$ es un diffeomorphism desde su inversa es $$ g\colon Q\rightarrow TS^n $$ definido por $$ g(z)=\left(\frac{x}{\sqrt{1+||y||^2}}, y\right), $$ donde $z=x+y\sqrt{-1}$. Uno ha $g(z)\in TS^n$ desde $$ ||x||^2-||y||^2=1 $$ y $$ 2\sqrt{-1}\sum x_iy_i=0 $$ para $z\in Q$.