función delta de Dirac

Question

Sé que $\int_{-\epsilon}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0)$ pero, ¿qué acerca de la $\int_0^\infty f(x)\delta(x)dx$? Supongo que tenemos que hacer esto, por definición, ya que el límite inferior es bang en $0$?

Answer 1

La función delta de dirac es una extraña bestia. Toda la notación "$\delta(x)dx$" es un poco de una mentira, porque no hay en realidad una función que tiene las propiedades que el $\delta$ función es axiomatized tener, que son:

• $\delta(x) = 0$ al $x \not = 0$
• $\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\, dx= 1$

El uso de estos, y la costumbre de las propiedades de la integral, no es difícil demostrar que $\int_0^\infty f(x)\delta(x)\,dx = f(0)$ por cada función $f$. El punto principal es que

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,dx = \int_{(-\infty,0)} f(x)\delta(x)\,dx + \int_{[0,\infty)}f(x)\delta(x)\,dx = 0 + \int_0^\infty f(x)\delta(x)\,dx$$ y $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(0)\delta(x)\,dx = f(0)\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx = f(0)$$ Por supuesto, usted puede demostrar con métodos similares que $\int_0^0 f(x)\delta(x)\,dx= f(0)$, aunque esta integral debe ser siempre 0. Esta es una manera de ver que no $\delta$ con las dos propiedades mencionadas anteriormente existe realmente como una función.

Una manera de hacer sentido de esto es el uso de la medida de la teoría y técnicas de integración de Lebesgue. Podemos tratar las $\delta$ función como una medida; pone a 1 unidad de "masa" en el origen y no de la masa en cualquier otro lugar. Si decimos que miden $\phi$ y nos integrar una función $f$ con respecto a esa medida, que realmente consigue $\int_{-\infty}^\infty f(x) \,d\phi = \int_0^0 f(x)\,d\phi = f(0)$. El problema es que esta medida no tiene una función de densidad (un Radon-Nikodym derivados) con respecto a la medida de Lebesgue, y por lo tanto no podemos reemplazar el $d\phi$ con cualquier cosa de la forma $\delta(x)dx$ donde $dx$ indica que la medida de Lebesgue.

En la práctica, la gente utiliza la notación $\delta(x)dx$ como puramente formal dispositivo para los cálculos. Que funciona bien, siempre y cuando sólo el sonido de los métodos utilizados para la manipulación de las integrales que involucran $\delta(x)$. En los libros de introducción, toda la cuestión es generalmente pasado por alto, con sólo una frase de dos diciendo: "este es formalmente mal pero funciona siempre y cuando lo hagas de la manera que se muestra aquí".

Answer 2

Usted es algo de una víctima de la ambigüedad en la notación. La definición de la integral $$ \int_A f \; da $$ es tomado a través de la abierta o cerrada (o ninguno) objeto $A$. Como Carl M notas, tenemos que $$ \int_{\{0\}} f(x) \delta(x) \; dx = f(0) $$ por la construcción de la delta funcionales, mientras que $$ \int_{(0,\infty)} f(x) \delta(x) \; dx = \int_{(-\infty,0)} f(x) \delta(x) \; dx = 0. $$ De manera más general, $$ \int_A f(x) \delta(x) \; dx = \begin{cases}f(0)\qquad&0 \in A\\0\qquad&\text{otherwise.}\end{casos} $$ Cuando alguien escribe $$ \int_0^\infty g(x) \; dx $$ ellos no están siendo claro cuál es el dominio de integración es en realidad.