¿Cuál es la diferencia entre escribir $f$ y $f(x)$?

Question

Veo a muchos profesores en mis cursos de cálculo usando $f$ y $f(x)$ de una manera que parece intercambiable. A veces me vuelve loco porque siempre pensé que eran diferentes. ($f$ significa una variable independiente, $f(x)$ significa una variable que depende de $x$.) Tampoco puedo seguir qué variable depende de cuál...

Entonces, cuando un profesor escribe $f$ en lugar de $f(x)$ o $x$ en lugar de $x(t)$, ¿realmente significa que $x$ es in/dependiente? ¿O lo están escribiendo intencionalmente de forma no completa?

¡Gracias!

Answer 1

**No es una pregunta estúpida**. De hecho, es bastante válida. Debido al uso abusivo de la notación (que a menudo es inofensiva, aunque confusa), $f$ y $f(x)$ a menudo se utilizan indistintamente. Formalmente, $f:A \to B$ es un cierto tipo de subconjunto del producto cartesiano $A \times B$. Un poco menos formalmente, $f$ es una regla que asigna a cada $a \in A$ un valor único $b \in B$. A menudo denotamos este valor único como $f(a)$. Entonces $f(a)$ es la función $f$ evaluada en algún punto $a$, mientras que $f$ es en realidad el objeto más abstracto que asocia elementos de $A$ con elementos de $B.**

Answer 2

A veces la gente escribe algo como $f(x)$ para una función y $f(s)$ para su transformada de Laplace, y entonces la pregunta es, ¿significa $f(3)$ la función original evaluada en $x=3$ o la transformada de Laplace evaluada en $s=3? El punto es que $f(x)$ debería referirse al valor de la función cuando el argumento (o "entrada") a la función es el número llamado $x$.

De manera similar, algunos escriben $f(x)$ y $f(y)$ para las funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias llamadas (mayúscula) $X$ e (mayúscula) $Y$. Entonces, ¿qué es $f(3)$? Una vez más, uno no debería hacer eso; $f(x)$ debería referirse al valor de la función cuando el argumento (o "entrada") a la función es el número llamado $x$. Una mejor notación es $f_X(x)$ donde (mayúscula) $X$ es la variable aleatoria y (minúscula) $x$ es el argumento de la función. Entonces queda claro qué es $f_X(3)$ y qué es $f_Y(3).

Luego, si escribes sobre $f(x)$ y $f(w)$, tienes la misma función evaluada en dos argumentos diferentes. Lo que es igual es $f$.

Answer 3

Por lo general, $f$ y $f(x)$ se utilizan indistintamente. Pero rigurosamente deberían ser utilizados de la siguiente manera.

La letra única $f$ denota la función, es decir, la máquina en la que puede insertar un valor y obtener otro valor. Sí, esto puede ser confuso al principio, porque está acostumbrado a usar letras únicas para variables. Sin embargo, las variables pueden ser de todo tipo. Hay números, letras, valores de verdad, ..., y funciones. Las funciones son simplemente otro tipo posible de variables. El hecho de que $f$ sea una función debe indicarse en algún lugar del texto antes de que se utilice. Por ejemplo, así:

Sea $f:A\to B$ una función. Entonces $f$ es ...

Después de esta línea solo tienes que recordar que es una función. En contraste, $f(x)$ denota el valor de $f$ al insertar $x$ como argumento de la función. Por lo general, $f(x)$ no es una función, sino lo que sea que $f$ devuelva (por ejemplo, un número real).

Ejemplo. Sea $f:\Bbb R\to\Bbb R$ una función definida por $f(x)=x^2$.

Entonces $f$ denota el "proceso de elevar al cuadrado", mientras que $f(x)$ es simplemente otra forma de escribir $x^2$, y $f(2)$ es simplemente otra forma de escribir $4$. Además, la variable utilizada para ser insertada en $f$ no tiene un nombre fijo. Así que $f(s)$ significa $s^2$ y no una función diferente a $f$. Sin embargo, puede ver todo tipo de abuso de esta notación, por ejemplo, denotando la transformada de Laplace de $f$ por $f(s).

Answer 4

Sin duda f(x) significa la imagen de x bajo f, pero x no es un valor único; convencionalmente se considera que es una variable que representa los puntos que pertenecen al dominio de f.

Por lo tanto, decir "f(x) es una función" no es nada diferente de decir "f es una función", siempre y cuando x se use para representar todos los puntos en el dominio de f.