¿Bajo qué condiciones una determinada distribución condicional existen

Question

Es común ver a los condicional distribuciones especificadas en estadísticas, tales como:

$$(X \mid \mu = t) \sim \mathcal{N} (t, 1)$$

(Por supuesto, también podemos utilizar alguna otra distribución aquí)

¿Cómo se puede demostrar que una probabilidad condicional de que realmente existe, en términos de regular la probabilidad condicional? Y hay alguna condición en la probabilidad subyacentes espacio?

Pruebas y/o referencias apreciado.

Answer 1

En un espacio polaco $(\Omega,\mathcal{F},P)$, regular condicional de distribución existe, es decir, dado cualquier $\mathcal{G}$ sub-sigma álgebra no es una función $K: \Omega\times \mathcal{F} \to [0,1]$ tal que

1) $K(\omega, \cdot)$ es una medida de probabilidad

2) $K(\cdot, A)$ $\mathcal{G}$ medibles

3) $K(\cdot, A) = \Bbb{E}[1_A \mid \mathcal{G}]$ $P$ casi seguramente

Por otra parte, si $\mathcal{H}\subset \mathcal{G}$ es countably generado ( $\mathcal{H} = \sigma(H_n, n \in \Bbb{N})$ ), a continuación, el siguiente principio de sustitución se tiene:

4) Hay un conjunto null $N\in \mathcal{G}$: $$K(\omega,A) = 1_A(\omega) \quad A \in \mathcal{H}, \omega\in \Omega \setminus N$$

Un caso interesante se produce cuando $\mu$ es una variable aleatoria toma valores en $\Bbb{R}$ desde $\sigma(\mu)$ es countably generados tenemos que

$$K(\omega,\{\omega'\mid \{\mu(\omega') = \mu(\omega)\}) = 1 \omega\in \Omega \setminus N$$

Así que casi con toda seguridad, $K(\omega, \cdot)$ se concentra en el nivel de $\{\mu(\omega') = \mu(\omega)\}$

En el caso de que se trata, de saber más (por supuesto) que si $\mu(\omega )= t$ $$K(\omega, A) = \int_A \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\big(\frac{(x-t)^2}{2}\big)\, dx$$ es decir, $K(\omega, \cdot) \sim N(\mu(\omega, 1))$ casi seguramente.

Las referencias pueden encontrarse en

Parthasarathy, K. R., la Probabilidad de Medidas sobre la Métrica de los Espacios de 1967.

Karatzas y Schreve - el movimiento Browniano y el cálculo estocástico [cap 5, pág 306] 1991

y en las notas señalado por Calculon:Teorema B. 18 en el Apéndice de las siguientes notas de la conferencia math.wisc.edu/~seppalai/cursos/735/notas.pdf