El cálculo de la Lebesgue y las integrales de Riemann

Question

Dado $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \text{if}~~ x = \frac{p}{q},(p,q)=1 ~,p\leqslant q, \text{is rational},~ 0\leqslant x \leqslant 1 \\ 0 & \text{if}~~ x ~~\text{is irrrational}, 0\leqslant x \leqslant 1 \end{casos} $$ Quiero encontrar el Lebesgue y la integral de Riemann de $f(x)$.

este es mi intento.

Para la integral de Lebesgue, defino $f(x) = 1\cdot 1_{\mathbf{Q}\cap [0,1]} +0\cdot 1_{[0,1]\setminus \mathbf{Q}}$. Entonces $$\begin{align*} \int_0^1 f(x)dx & = 1\cdot \mu(\mathbf{Q}\cap [0,1]) + 0 \\ & = 0 . \end{align*}$$ where $\mu$ es la medida de Lebesgue.

Creo que la integral de Riemann también debe ser $0$. Aquí es lo que he hecho.
Deje $P$ ser una partición de $[0,1]$. A continuación, desde la irrationals son densos en $[0,1]$, cada subinterval de $P$ tendrá un punto donde $f(x) = 0$. De modo que la suma menor, $L(f,P) = 0.$ $$\underline{\int_0^1} f(x) dx = \sup L(f,P) = 0.$ $

Ir con mi conjetura, $\overline{\int_0^1} f(x)dx$ también debe ser 0$, pero no sé cómo conseguirlo. así que quiero ayudar con esto. También, es lo que he hecho por encima de bien?

Answer 1

Rápido sugerencia: Para cualquier $\varepsilon>0$, sólo hay un número finito de punto de $x\in[0,1]$$f(x)>\varepsilon$. Que debe permitir que usted consiga en la parte de la suma de Riemann.

Más precisamente, hacer un paso de la función cuyo valor es $\varepsilon$ en la mayoría de $[0,1]$, pero toma en grandes valores cerca de los puntos donde se $f(x)>\varepsilon$. Se puede tomar el mayor de los valores en intervalos tan cortos como usted desea, y puesto que sólo hay un número finito de puntos a tomar cuidado de, esto debería ir allí.