¿Existe una familia AD $\mathcal Q$ de tamaño $\aleph_1$ que no es un hueco de Luzin?

Question

Esto es un ejercicio $II.10.$ de la teoría de conjuntos de Kunen:

Mostrar (en ZFC ) que existen familias casi disjuntas $\mathcal A,\mathcal B\subseteq P(\omega)$ tal que $|\mathcal A|=|\mathcal B-\mathcal A|=\omega_1$ y no hay $d\subseteq \omega$ tal que $\forall x\in\mathcal A(|d\cap x|<\omega$ ) y $\forall x\in \mathcal B-\mathcal A(|x-d|=\omega)$ .

Kunen insinúa:

$\mathcal A=\{a_{\alpha}:\alpha<\omega_1\}$ y $\mathcal B-\mathcal A=\{b_{\alpha}:\alpha<\omega_1\}$ . Construir $a_{\alpha}$ , $b_{\alpha}$ de forma inductiva para que $a_{\alpha}\cap b_{\alpha}=\emptyset$ pero $\alpha\neq \beta \rightarrow a_{\alpha}\cap b_{\beta}\neq\emptyset$ .

Pero no tengo ni idea de cómo mostrar la pista. Todas las ideas son apreciadas.

Gracias

Answer 1

Construir las familias de forma recursiva. En cada etapa se trata de una familia contable de conjuntos casi disjuntos, dividida en dos subfamilias, por lo que el paso crucial es éste:

Supongamos que $\mathscr{A}=\{A_n:n\in\omega\}$ , $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\omega\}$ y $\mathscr{A}\cup\mathscr{B}\subseteq[\omega]^\omega$ es una familia casi disjunta tal que $A_n\cap B_n=\varnothing$ para todos $n\in\omega$ y $A_m\cap B_n\ne\varnothing$ si $m,n\in\omega$ y $m\ne n$ . Queremos construir $A,B\in[\omega]^\omega$ para que $A\cap B=\varnothing$ y $A\cap B_n\ne\varnothing\ne A_n\cap B$ para $n\in\omega$ .

Supongamos que $A=\{a_k:k\in\omega\}$ y $B=\{b_k:k\in\omega\}$ , donde $a_k<a_{k+1}$ y $b_k<b_{k+1}$ para cada $k\in\omega$ . Queremos elegir el $a_k$ y $b_k$ para que

$$a_k\in B_k\setminus\left(\bigcup_{n\le k}A_n\cup\{a_i:i<k\}\cup\{b_i:i<k\}\right)$$

y

$$b_k\in A_k\setminus\left(\bigcup_{n\le k}B_n\cup\{a_i:i\le k\}\cup\{b_i:i<k\}\right)$$

para cada $k\in\omega$ . Esto puede hacerse mediante una recursión en $k$ , eligiendo $a_k$ y luego $b_k$ en el paso $k$ .