Encontrar todos los reales $x$,$y$ satisfacer la siguiente ecuación:

Question

Encontrar todos los reales positivos $x,y \in \mathbb{R}^+$ la satisfacción de: $$\frac{x^9}{y} + \frac{y^9}{x} = 10-\frac{8}{xy}$$

Ya que esto implica mayores exponentes soy incapaz de hacer frente a este problema. Por favor me ayude.

Answer 1

Sugerencia: Escribir como:

$x^{10}+y^{10}=10xy-8$

A continuación, utilice AM-GM:

$10xy-5=x^{10}+y^{10}+1+1+1\ge5\sqrt[5]{x^{10}y^{10}}=5x^2y^2$

Que da $5(xy-1)^2\le0$, lo $xy=1$

A continuación, inicial de la ecuación puede ser reescrita como $x^{10}+\frac{1}{x^{10}}=2$

Que por AM-GM de nuevo, (o por la escritura como un $(x^{10}-1)^2=0$) tiene la solución, $x^{10}=1$, lo $x=\pm1$

Por lo $x=1,y=1$ o $x=-1,y=-1$

Answer 2

Sólo para dar un no-AM-GM respuesta, vamos a $u=xy$, que debe ser positiva, para $x^{10}+y^{10}=10xy-8$ tener una solución, y tenga en cuenta que $x^{10}+y^{10}=(x^5-y^5)^2+2(xy)^5$. Así

$$\begin{align}x^{10}+y^{10}-10xy+8 &=(x^5-y^5)^2+2(u^5-5u+4)\\ &=(x^5-y^5)^2+2(u-1)(u^4+u^3+u^2+u-4)\\ &=(x^5-y^5)^2+2(u-1)^2(u^3+2u^2+3u+4)\\ &\ge0 \end{align}$$

con igualdad si y sólo si $x^5=y^5$ $xy=u=1$ (desde $u\gt0$ implica $u^3+2u^2+3u+4\gt0$). De esto podemos ver que $x=y=\pm1$ son las únicas posibilidades. En particular, $(x,y)=(1,1)$ es la única solución con $x,y\in\mathbb{R}^+$.

Comentario: me mostró la factorización de $u^5-5u+4$ en dos pasos para facilitar el control.