Integralidad de la $L$-género para un buen colector de

Question

Para una compacta, orientada, suave colector $M^{4k}$, el Hirzebruch firma teorema da la firma de $\sigma(M)$ en términos de un polinomio $P_k$ en el Pontryagin números de $M$ cuyos coeficientes son racionales, pero tienen muy grandes denominadores. En particular, $P_k$ es de valor entero porque $\sigma(M^{4k})$ es. La prueba usual (al menos los que yo he visto) de que el resultado es calcular los $\Omega^{SO}_* \otimes \mathbb{Q}$, ten en cuenta que la firma es invariante bajo (orientado) cobordism y, a continuación, mostrar que $P_k$ da el resultado correcto en los generadores $\mathbb{CP}^{2m}$. Hay una prueba directa, a pesar de, o incluso algún tipo de razón por la integralidad debe mantener?

De una manera más estrecha ejemplo: En la dimensión 4, la clase $p_1(M^4) = 3\sigma(M) \in 3\mathbb{Z}$ si $M$ es suave. ¿Hay algún otro significado a $p_1(M^4)\in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ más allá de ser un obstáculo para smoothability?

Answer 1

Desea $M$ para ser compacto y orientado. Integralidad sostiene porque la firma es manifiestamente integral; la verdadera pregunta es ¿por qué se firma por parte de algunos en particular combinación racional de los números característicos.

A partir de una modernish punto de vista de los resultados de este formulario debe ser pensado como consecuencias de las variaciones en el Atiyah-Singer índice teorema, que ofrece una receta general para mostrar que ciertos valor entero invariantes (índices de elíptica operadores) puede ser calculado en términos de ciertas características de los números. Algunas pruebas de que el índice teorema de proceder mediante una cobordism argumento para reducir el teorema de la comprobación de casos particulares, pero muchos otros no; hay una sorprendente variedad de pruebas, la verdad.

Una razón de que las cosas son particularmente misterioso sin el índice es el teorema que más sofisticadas de la integralidad de los argumentos de esta forma dependen del colector de tener más sofisticados extra estructura. Desde la perspectiva de índice de la teoría de que el punto de este extra estructura es permitir que usted para definir extra interesante elíptica operadores; de lo contrario es bastante claro lo que está pasando. Por ejemplo, el sombrero de género es parte integral en la vuelta colectores debido a girar estructuras permiten escribir un operador de Dirac operador cuyo índice es el de Un sombrero de género.