¿Se necesita más energía para abrir una puerta cuando se aplica fuerza cerca de la bisagra?

Question

Suponiendo una puerta con bisagras ordinaria (sin muelles), ¿se necesitaría más energía para abrirla al aplicar la fuerza en el centro de la puerta (punto b), en lugar de en el extremo de la misma (punto a), donde está el pomo de la puerta?

"Abrir la puerta" debe interpretarse como acelerar la puerta hasta una determinada velocidad de giro.

Mi propia respuesta es que no, ya que el cambio de fuerza sería proporcional a la distancia necesaria para abrir la puerta y, por tanto, la energía total seguiría siendo la misma.

Answer 1

Tienes razón.

Para abrir la puerta durante el mismo intervalo de tiempo (para empujar en $a$ y $b$ ), debería inducir la misma aceleración angular. Como la rotación en ambos casos es sobre el mismo eje, esto significa que se necesita el mismo par, lo que da $$ \frac{F_a}{F_b} = \frac{r_b}{r_a} $$ donde $r$ es la distancia del punto de contacto al eje.

Sin embargo, la distancia a la que debe aplicarse la fuerza $a$ y en $b$ están relacionados porque son arcos del mismo ángulo $$ \frac{r_b}{r_a}=\frac{l_b}{l_a} $$ Esto implica que $F_a l_a = F_b l_b$ y hay que hacer el mismo trabajo.

Answer 2

La respuesta de Física 101 es que no: se necesita más fuerza, pero se compensa con el menor desplazamiento, por lo que la energía sigue siendo la misma. Si empezamos con una puerta estática, y terminamos con una puerta que gira a cierta velocidad, la energía en la puerta es el trabajo realizado por la fuerza y debe ser la misma independientemente del punto donde se aplicó la fuerza

Pero profundicemos un poco más. Cuando aplicas la fuerza, también tienes cierta fuerza de reacción en las bisagras, que generan cierta fricción, que disipa energía. Así que si te quedas más cerca de las bisagras, la mayor fuerza requerirá al final un poco más de energía.

También podemos considerar el dispositivo que genera la fuerza. Si es el brazo, entonces tenemos otro efecto: la energía que consumen los músculos sólo para generar una fuerza es (de alguna manera) proporcional a esa fuerza. Esto sucede porque más fibras musculares tienen que contraerse para generar una fuerza mayor. De hecho, si intentas cerrar diez puertas aplicando la fuerza muy cerca de las bisagras, te cansarás mucho más que si cierras diez puertas desde el pomo.

Este es también el caso de un motor eléctrico: una mayor fuerza (par) requiere una mayor corriente, lo que conlleva mayores pérdidas óhmicas, por lo que se disipa más energía.

En general, es mejor mantener las fuerzas bajas cuando es posible.

Answer 3

La respuesta es NO.

El cambio de energía es trabajo, es decir $W = \Delta E$ y aquí el trabajo realizado es $$W = \text{Torque} \cdot \text{angular displacement}$$ que es igual en ambos casos. El único cambio es que hay que aplicar más fuerza para conseguir la misma cantidad de par en un radio menor. $$\text{Force at "b"} > \text{Force at "a"}$$ pero no el trabajo realizado ni la energía gastada.

Answer 4

Para llegar a una velocidad de rotación final $\Omega$ es toma la mismo cantidad de energía independientemente de dónde se empuje. ¿Por qué? Bueno, la energía cinética final es $K=\frac{1}{2} I \Omega^2$ (donde $I$ es el momento de inercia de la masa en torno a la bisagra) y este valor no depende de dónde se empuje.

Este es un resultado algo aburrido.

Lo que sí difiere es cuánto hay que empujar y cuánta reacción proporcionan las bisagras. Si sólo se empuja durante un pequeño periodo de tiempo proporcionando un impulso $J=\int F(t)\,{\rm d}t$ entonces las bisagras desarrollarían un impulso de reacción de $R$ .

$$\begin{align} J & = \frac{I \Omega}{a} & R = \frac{I \Omega}{a} - m \Omega \frac{\ell}{2} \end{align} $$

donde $a$ es la distancia de donde empujo desde las bisagras y $\ell$ es la anchura de la puerta. Dado que $I=m \frac{\ell^2}{3}$ se puede ver que cuando $a=\frac{2}{3} \ell$ no hay reacción en las bisagras. Eso se llama el centro de percusión (punto dulce).

Ahora el impulso $J=F \Delta t$ puede considerarse como una fuerza media $F$ aplicada por un pequeño tiempo $\Delta t$ . Si el tiempo de empuje es fijo, entonces $$F = m \frac{\Omega \ell^2}{3 a \Delta t} $$ lo que significa que cuanto más lejos de la bisagra, menor será la fuerza (¡duh!).

Ahora bien, si la distancia $\delta$ por el que se aplica la fuerza se fija ( $\Delta t = \frac{\delta}{v} = \frac{\delta}{a \Omega}$ ) la fuerza es $$F = m \frac{\Omega^2 \ell^2}{3 \delta} $$ que no depende de la distancia $a$ . Esto puede explicarse porque la fuerza sobre la distancia es trabajo, que se convierte en energía cinética, y como el objetivo es la misma energía cinética, se necesita la misma cantidad de trabajo. Si la distancia es fija, entonces la fuerza también debe ser fija para llegar al mismo trabajo.

Anexo

Las dos ecuaciones de movimiento que he utilizado son

• $J-R = m v_{cm} = m (\Omega \frac{\ell}{2} )$
• $(a-\frac{\ell}{2}) J + \frac{\ell}{2} R = m \frac{\ell^2}{12} \Omega $

_{Figura 1. Esquema de la puerta desde arriba}

Answer 5

Si se abre una puerta empujándola cerca de la bisagra, se aplica una fuerza mayor que cuando se empuja cerca del borde exterior, lo que requiere una fuerza menor ya que la anchura de la puerta actúa como palanca y multiplicador de fuerza. Como la fricción de la bisagra y el peso de la puerta son iguales en ambos casos, y suponiendo que el desplazamiento es el mismo, la energía neta transferida a la puerta es la misma en ambos casos, pero sólo si la velocidad de apertura de la puerta es la misma en ambos casos.

Energía cinética = 0,5 * masa * v^2

También podría resolver este problema utilizando el par de torsión. Aunque la energía es un escalar y el par es un vector, ambos se expresan en newtonmetros (julios para la energía).

Par = masa de la puerta * aceleración * brazo de palanca * ángulo del seno de la fuerza aplicada

La longitud del brazo de la palanca depende de dónde se empuje la puerta. Si se supone que la aceleración es proporcionalmente mayor cuanto más corto sea el brazo de palanca, se obtiene el mismo par y, por tanto, la misma energía transferida a la puerta. Dependiendo de tus suposiciones, la cantidad de energía transferida a la puerta no tiene por qué ser diferente si la empujas cerca de su borde.