Prueba $\lim_{x\to0}\cos(\frac{1}{x})$ no existe

Question

Prueba $\lim_{x\to0}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ no existe uso de $\epsilon$$\delta$prueba.

Creo que mi profesor quiere que hacer dejando $L$ ser arbitraria. Tenemos entonces dos casos: $L > 0$ y $L < 1$. Luego sería escoger un epsilon, Delta todos y elegir un $x$.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Por la definición de límite, para que este límite exista debe existir un $\delta>0$ cualquier $\epsilon>0$ tal que:$$|cos\frac{1}{x}-L|<\epsilon$$whenever,$$|x|<\delta$$ When $x$ takes small values $cos\frac{1}{x}$ fluctuates rapidly between $1$ and $-1$. So if we fix an arbitrarily small value for $\epsilon$, we can always choose an $x$ such that $$|x|<\delta$$But$$|cos\frac{1}{x}-L|>\epsilon$$ lo cual es una contradicción. Así que el límite no existe.

Answer 2

Supongamos $\varepsilon=1/10$. Si el límite existe, entonces no existe $\delta>0$ que si $|x|<\delta$,$|\cos x-L|<\varepsilon$. Pero hay números $x_1$, $x_2$, ambos a menos de $\delta$ en valor absoluto, para los que $\cos x_1=1$$\cos x_2=-1$. Por lo $1$ $-1$ están dentro de una distancia de $1/10$$L$. De $1$ $L$a una distancia de $<1/10$ e de $L$ $-1$a una distancia de $<1/10$, por lo que el triángulo de la desigualdad nos dice la distancia de$1$$-1$$<2/10$.