Tenga en cuenta que la métrica de la finalización dependerá de lo que las métricas que poner en el campo. Por ejemplo, si nos doten a los racionales $\bf Q$ con el p-ádico métrica, obtenemos ${\bf Q}_p$, $p$- ádico números, a nuestro finalización del procedimiento. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number.
Del mismo modo, el campo de fracciones de un polinomio anillo de ${\bf F}[T]$ sobre un campo $\bf F$ será el "campo de función" denota ${\bf F}(T)$ compuesto de funciones racionales en $T$. Tenga en cuenta que cada función racional en $T$ puede ser expresado formalmente como un infinito Laurent expansión en $T$ utilizando la fórmula de la suma geométrica,
$$(a\ne0)\qquad \frac{1}{a-T}=\frac{1}{a}\frac{1}{1-a^{-1}T}=\frac{1}{a}\left(1+a^{-1}T+a^{-2}T^2+\cdots\right).$$
Cuando tenemos el derecho métrica definida en ${\bf F}(T)$, por encima de la serie infinita puede tener sentido desde que converge. Es decir, definir el valor de $|T^nf(T)|=e^{-n}$ al $f(0)\ne0$, y se extiende al resto de ${\bf F}(T)$ por multiplicativity (nota: la base de la $e$ fue arbitrario; puede ser normalizada de otra manera, y hay estándar de normalizaciones como $|\bf F|$ o similar al $\bf F$ es finito). Este valor induce una métrica.
Bajo esta métrica, a la finalización de ${\bf F}[T]$${\bf F}[[T]]$, el anillo de la infinita potencia de la serie de expansiones en la variable $T$ (no negativo de poderes), y la finalización de la ${\bf F}(T)$${\bf F}((T))$, el anillo de formal Laurent expansiones en $T$ (por lo tanto, la potencia de la serie con un número finito de potencias negativas permitido).
Aquí se explica cómo ver esto por ${\bf F}[T]$. Supongamos $f_m(T)$ es de Cauchy con respecto a $|\cdot|$. A continuación, para cada $n\ge0$, el coeficiente de $c_n(f_m)$ $f_m(T)$ evenetually estabiliza (es decir, queda fija para todas las $m$ más allá de un cierto punto), ya que para cada $n\ge0$ no es un porcentaje ($M$que $m_1,m_2>M\implies T^{n+1}\mid f_{m_1}(T)-f_{m_2}(T)$ o, equivalentemente, $f_{m_1}(T),f_{m_2}(T)$ comparten la misma inicial $n$ de los coeficientes. Así como nos vamos a $n\to\infty$ y de la vista de los polinomios $f_n(T)$ como finito de alimentación de la serie, finalmente cada coeficiente será fijo y el poder de la serie que consta de todos los estabilizado coeficientes es la resultante límite. Por el contrario, usted puede elegir cualquier potencia de la serie de ${\bf F}[[T]]$ y sus sumas parciales se reunirán a de ${\bf F}[T]$.
Un argumento similar se aplica para ${\bf F}(T)$${\bf F}((T))$; podemos utilizar parcial fracción de descomposición para ver el campo de función ${\bf F}((T))$ como un sub-anillo de ${\bf F}[[T]][T^{-1}]$ y hacer la misma cosa (la ampliación de la métrica).
Estas no son las únicas métricas y, por tanto, no sólo las terminaciones posibles. Análoga a la del campo de número de configuración, no se $\pi$-ádico valores absolutos en ${\bf F}[T]$ al $\pi(T)$ es un polinomio irreducible, cada polinomio será un factor en irreducibles $f(T)=\pi_0(T)^{s_0}\cdots\pi_r(T)^{s_r}$ y a continuación definimos $|f(T)|_\pi=e^{-(\deg\pi)s_0}$ donde $\pi_0(T):=\pi(T)$ (de nuevo, esto puede ser normaliza). Esto puede ser comprobado ser un no-arquímedes valor absoluto y de nuevo tenemos un(n ultra)métrica. Igual que los números enteros tienen base-$p$ expansiones, podemos escribir $f(T)=a_n(T)\pi(T)^n+\cdots+a_1(T)\pi(T)+a_0(T)$ con cada una de las $\deg a_i(T)<\deg\pi(T)$, utilizando el algoritmo de la división.
Como consecuencia, la finalización de ${\bf F}[T]$ con respecto al $|\cdot|_\pi$ puede ser representado como el anillo de poder infinito de la serie en $\pi(T)$, y del mismo modo las $\pi$-ádico de la finalización de ${\bf F}(T)$ permite que las potencias negativas.
Incluso el $\pi$-ádico valores absolutos (y por lo tanto métricas) no son los únicos que pueden ser definidas; a otro nivel, uno es $|f(T)|=e^{\deg f}$, que es como el "$1/T$-ádico" abs. val. Si dejamos $\alpha$ ser arbitraria trascendental en $\bf C$, ${\bf Q}(T)$ puede ser incorporado como campo en $\bf C$ y hereda la métrica de los números complejos, dando así a ${\bf Q}(T)$ y el de arquímedes valor absoluto. Sin embargo, podemos clasificar los valores absolutos ${\bf F}(T)$ que restringir trivialmente, de forma análoga a Ostrowski del teorema.
