Demostrar que este anillo es un dominio integral basado en acaba de definir operaciones binarias

Question

"Definir una nueva adición y multiplicación en $\mathbb Z$ las reglas: $a(+) b = a + b – 1$ y $a(*) b = ab – (a + b) + 2$. Demostrar que con estas nuevas operaciones binarias $\mathbb Z$ es un dominio integral. Se puede suponer que bajo estas nuevas operaciones $\mathbb Z$ es un anillo".

Puedo mostrar que $\mathbb Z$ es un anillo comutativo, no sé cómo encontrar el elemento de identidad de $\mathbb Z$ para mostrar que es un dominio integral.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Primero de todo, se le suele llamar la identidad aditiva el "cero" y el multiplicitive identidad de la "identidad" para mayor claridad. Yo creo que usted está buscando cero para mostrar que el anillo es una parte integral de dominio. Para hacer esto, usted necesita para encontrar algo de $x \in \mathbb{Z}$ tal que para cualquier $a \in \mathbb{Z}$, $a(+)x = a+x-1 = a$. Usted puede hacer esto mediante el álgebra. Un método similar se puede utilizar para encontrar el (multiplicitive) de identidad.

Para mostrar que el anillo es una parte integral de dominio, usted necesita demostrar que, si se denota el elemento cero por $z$, $a\ast b = z \implies a = z $ o $b = z$.

Answer 2

Este anillo se construye a través de un estándar de truco, que nos permite el transporte de la estructura de un anillo arbitrario a cualquier conjunto con la misma cardinalidad.

Supongamos $(A, +, *)$ es un anillo. Deje $f : A \to B$ ser un bijection, donde $B$ es un conjunto arbitrario. Definir las operaciones en $B$ a través de $$ x(+)y = f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)), \qquad x(*)y = f(f^{-1}(x) * f^{-1}(y)). $$

Entonces es inmediato que $(B,(+),(*))$ es un anillo, y $f$ un isomorfismo.

En su caso, $A = B = \Bbb{Z}$, e $f(x) = x+1$, y por lo tanto $f^{-1}(x) = x - 1$. De hecho $$ x(+)y = (x - 1) + (x-1) + 1 = x + y -1, \quad x(*)y = (x-1)(y-1) + 1 = x y -(x+y) +2. $$

Answer 3

Este ejercicio se entiende mejor como un caso especial de los siguientes trivial observación, que también se explica cómo estas bastante exótico (anillo) de operaciones (que son, por supuesto, inútil, y este "ejercicio" es sólo un fin en itsself).

Deje $R$ ser un anillo con el conjunto subyacente $|R|$. Si hay un bijection $f : X \to |R|$ de $X$, entonces no es un único anillo de $S$ $|S|=X$ tal que $f$ se convierte en un isomorfismo de anillos. Es decir, uno tiene$0_S = f^{-1}(0_R)$$s+t = f^{-1}(f(s)+f(t))$, la misma con la estructura multiplicativa. De hecho, el mismo funciona para arbitrario estructuras algebraicas. Desde $f$ es un isomorfismo, cada axioma o propiedad de $R$ es heredado a $S$. Por ejemplo, si $R$ es una parte integral de dominio, el mismo es cierto para $S$.

Ahora, toma la bijection $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $a \mapsto a-1$. La inducida por la adición es $a+'b=(a-1)+(b-1)+1=a+b-1$, el cero es $1$, la multiplicación es $a*'b = (a-1)*(b-1)+1=a*b-a-b+2$, la unidad es $2$.

Por lo tanto, este anillo no es más que el habitual anillo de $\mathbb{Z}$, pero con una notación diferente para sus elementos.