Dónde y cómo exactamente ¿teoría de cuerdas y Q.E.D. utiliza regularización de la función zeta?

Question

En el video mencionan que se utilice en muchos campos de la física incluyendo cadena y teoría QED.

https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Pero recuerdo leer en algún lugar que 1+2+3..=-1/12 es obviamente un "truco matemático" (algo estúpido equiparar sistemas incompatibles), y si es así, ¿cómo esto llegar a ser cierto para cosas que son reales (como QED)?

Answer 1

Zeta función de regularización se utiliza en otros campos, e incluso en las matemáticas puras para obtener finito respuestas, de lo contrario, divergentes integrales. En bosonic la teoría de cuerdas, la misa de los estados en lightcone calibre,

$$M^2 = \frac{4}{\alpha'} \left[ \sum_{n>0} \alpha^{i}_{-n}\alpha^{i}_n + \frac{D-2}{2}\left( \sum_{n>0} n\right) \right]$$

donde $\alpha'$ es el universal Regge pendiente, $D$ es la dimensión espacio-tiempo, y $\alpha^{i}_n$ puede ser interpretado como los coeficientes de Fourier de la forma expandida de la incorporación de las funciones de $X^{\mu}(\sigma)$ en el Polyakov de acción que proporcionan un mapa de la worldsheet a la meta de espacio. Utilizamos el hecho de que

$$\sum_{n>0} n = 1+2+3+...=\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$$

para escribir la expresión para la masa de los estados,

$$M^2 = \frac{4}{\alpha'} \left(N - \frac{D-2}{24} \right)$$

Si nos fijamos en el estado, correspondiente a $N=0$, vemos

$$M^2 = -\frac{1}{\alpha'}\frac{D-2}{6}$$

que corresponde a una partícula con un imaginario de masa, conocido como un taquión. La demanda que debemos preservar $SO(1,D-1)$ simetría de Lorentz nos obliga a elegir de que el primer estado excitado $(N=1)$ ser masa, y por lo tanto debemos elegir el espacio-tiempo a ser $D=26$. En otra cadena de teorías, la dimensión crítica de la cadena puede ser menor, por ejemplo, $10$ o $11$. Para más información, recomiendo Prof. Tong conferencias notas sobre la teoría de cuerdas disponible en: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html.