cuál es el sup e inf del valor absoluto de $1+z+z^2+ ...+z^n$ ?

Question

Cuál es el sumo y el ínfimo del valor absoluto de $1+z+z^2+ \dots+z^n$ cuando $z$ es un número complejo y $z$ está dentro del círculo unitario en el plano complejo, lo que significa que $zz^*<1$ ?

Probé como cuando $z \geq 1$ en $\mathbb{R}$ parece tener el supremum $n+1$ y cuando $z \geq 0$ parece tener el infimum $1$ , pero no pude probarlo.

Answer 1

Un enfoque muy elegante es mirar la factorización del polinomio $1+z+z^2+\ldots+z^n$ . Esto obviamente tiene como raíces complejas $(n+1)^{th}$ raíces de la unidad. Curiosamente estas se encuentran en la frontera de su dominio. Así que si escribo

$$|1+z+z^2+\ldots+z^n| = |z-\zeta_1||z-\zeta_2|\ldots|z-\zeta_{n-1}|.$$

Obviamente a medida que te acercas a una de las raíces en el límite la función se acercará a cero que es el ínfimo. ¿Y el supremum? Se alcanzará en algún punto de la frontera $|z|=1$ . (Comprobar este post.)

Answer 2

$$1+z+z^2+...+z^n=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}$$

Con este formulario es bastante más fácil.

Answer 3

$|1+z+z^2 + \dotso + z^n| \leq |1| + |z| + \dotso +|z^n| = |1| + |z| + \dotso +|z|^n = n+1 $ ( porque |a+b| <= \leq |a|+|b| y |ab|=|a||b| ) si para $z=1$ tiene valor: $n+1$ eso es supremum. Infimum es $0$ obviamente (para $z=0$ ).

Answer 4

$f(z,n)=\sum_{i=1}^nz^i$
Supremum: $|\sum_{i=0}^nz^i|<= \sum_{i=0}^n |z^i| = n+1$ .
Por otro lado z=1 te da este valor => sup |f(z,n)|=n+1.

Infimum: $\sum_{i=0}^nz^i = \frac{z^{n+1}-1}{z-1}$ . Utilización de $z = e^{\frac{2\pi i}{n+1}}$ te da f(z,n)=0. Esto es el infimo.