¿Es$\alpha^{\beta}=2^{\beta}$ para todas las cardinalidades infinitas$\alpha, \beta$?
Me preguntaba sobre esto desde que he encontrado ejemplos de los tiempos en que esto tiene, pero no puedo parecer probarlo yo mismo y soy bastante escéptico que es verdad en general.
¿Alguien puede arrojar luz sobre esto, por favor? ¿Cuáles son las limitaciones de esto?
¡Gracias!
De ningún modo. Por ejemplo, vamos$\alpha=2^{2^\beta}$ entonces tenemos:$$\alpha^\beta=\left(2^{2^\beta}\right)^\beta=2^{2^\beta\cdot\beta}=2^{2^\beta}=\alpha.$ $
Si$2<\alpha\leq 2^\beta$ entonces$2^\beta\leq\alpha^\beta\leq2^\beta$ y tenemos igualdad. De lo contrario$2^\beta<\alpha$ y$(2^\beta)^\beta=2^\beta<\alpha\leq\alpha^\beta$.
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