Para dos funciones $f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, ¿cómo podría mostrar que las curvas de nivel de estas dos funciones diferentes se intersectan en ángulos rectos?
Puedo dar las funciones específicas, pero me gustaría saber de una manera más general.
Un enfoque general para este tipo de problema sería encontrar una parametrización de ambas curvas alrededor de cada punto de intersección. Comprobar que se intersectan en ángulos rectos ahora se reduce a calcular que el producto interno de las dos velocidades (es decir, las derivadas de las parametrizaciones) en la intersección y ver si se anula.
Dado $z=f(x,y)$, $\nabla f= \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+ \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$, en un dado $(x, y)$, es tangente a la curva de nivel de $z= f(x, y)$ para ese $(x, y)$. Del mismo modo, $\nabla g$ es tangente a la curva de nivel de $z= g(x, y)$. Las dos curvas de nivel se intersectan en ángulo recto donde esos dos vectores tangentes son perpendiculares: donde su producto punto es $0$.
¿Estás seguro de que el gradiente es tangente? es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_nivel#Conjuntos_de_nivel_versus_el_gradiente de todas formas tu solución funciona.
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