¿Qué son las simetrías de supertraducción de BMS? Estoy estudiando el cabello suave en los agujeros negros y necesito aprender las simetrías de supertraducción de BMS.
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Utilizo la referencia A. Strominger y A. Zhiboedov, "Memoria gravitacional, supertraducciones de BMS y teoremas blandos". en su mayor parte aquí. La simetría del BMS implica el movimiento de cargas de prueba debido a la radiación gravitacional de una fuente gravitatoria perturbada o un agujero negro. La memoria gravitatoria se debe a que las posiciones finales de las masas no son necesariamente las mismas que sus posiciones iniciales. Se trata entonces de un conjunto de traducciones que llevan información sobre la radiación gravitatoria.
Para iniciar la métrica de Bondi es $$ ds^2~=~-du^2~-~2dudr~+~2 \gamma_ {z \bar z}r^2dzd \bar z, $$ que es sólo la métrica de Minkowski para una esfera de dos con el $z,~ \bar z$ coordenadas. El término $m_B$ es el término masa, y la masa es la llamada masa de Bondi y la fuente de energía de masa que se propaga a ${ \cal I}^+$ donde la coordenada $u$ se define. Los términos $C_{zz}$ y $C_{ \bar z \bar z}$ determinar los términos de curvatura de Weyl para la propagación de la onda gravitacional. Una ecuación de campo de Einstein es $$ D_{ \bar z}^2C_{zz}~-~D_z^2C_{ \bar z \bar z}~=~0, $$ que da la solución simple $C_{zz}~=~-2D_z^2C(z,~ \bar z)$ . Aquí $C(z,~ \bar z)$ es un potencial escalar. El cambio de este potencial es un cambio en la curvatura de Weyl con el paso de una onda gravitacional. \vskip.1in La curvatura tiene dos partes. Los términos de la fuente definen la masa de Bondi, y la tasa de cambio en el tiempo, o el parámetro $u$ en ${ \cal I}^+$ es $$ \frac { \partial m_B}{ \partial u}~=~ \frac {1}{4}(D_zD_zN^{zz}~+~cc)~-~ \frac {1}{4}N_{zz}N^{zz}~+~4 \pi GT_{uu}(matter)|_{r~ \rightarrow ~ \infty }, $$ donde $N_{zz}~=~ \partial_uC_ {zz}$ es la noticia de Bondi. El término $ \frac {1}{4}N_{zz}N^{zz}$ es el flujo de radiación gravitacional. El espacio tiempo estacionario tiene $M,~Q,~J$ como cargas de Noether o cantidades conservadas. Tenemos con ese sistema un único conjunto de simetrías locales. Estas son las simetrías de Lorentz o Poincare en una superficie espacial, que se define en $i_0$ ya que todas las superficies espaciales entran en contacto allí. Sin embargo, sabemos que esto es una idealización de los agujeros negros eternos. La emisión de radiación gravitacional o la variación temporal de la masa, o masa de Bondi, es una firma de que algo es más general. \vskip.1in Las traducciones en las variables $u,~r,~z.~ \bar z$ son $$ u~ \rightarrow ~u~+~f(z,~ \bar z) $$ \begin {ecuación} r~ \rightarrow ~r~-~D^zD_zf(z,~ \bar z) \end {ecuación} $$ z~ \rightarrow ~z~+~ \frac {1}{r}D^zf(z,~ \bar z), $$ para una función $f(z,~ \bar z)$ y la traducción de $ \bar z$ evidente. Una supertraducción infinitesimal general puede verse fácilmente como entonces de estas $$ \xi ~=~f(z,~ \bar z) \frac { \partial }{ \partial u}~+~D^zD_zf(z,~ \bar z) \frac { \partial }{ \partial r}~-~ \frac {1}{r} \left (D^z f(z,~ \bar z) \frac { \partial }{ \partial z}~+~c.c. \right ). $$ Podemos calcular la derivada de la masa de Bondi y la curvatura de Weyl y la masa de Bondi $$ { \cal L}_ \xi m~=~f(z,~ \bar z) \frac { \partial m}{ \partial u,}, $$ donde $ \partial m/ \partial u$ dado arriba, y la curvatura de Weyl $$ { \cal L}_ \xi C_{zz}~=~f(z,~ \bar z)N_{zz}~-~2D_z^2f(z,~ \bar z). $$ Las supertraducciones son aditivas, donde para $ \xi $ y $ \xi '$ tenemos propiedades aditivas $ \xi ''~=~ \xi ~+~ \xi '$ y estos son generadores de un grupo con $g~=~e^{p^a \xi_a }$ con el índice sumado sobre $u,~r,~z,~ \bar z$ . Claramente para $g'~=~e^{p^a \xi '_a}$ tenemos que $gg'~=~g'g$ de la naturaleza aditiva de los vectores de supertraducción y que los elementos métricos son conmutativos. Esto es entonces un grupo abeliano dimensional infinito.
Las simetrías del BMS son entonces un producto semidirecto de las simetrías de Poincare $P~=~SO(3,1) \rtimes { \cal A}$ con este grupo de simetrías abelianas $ \cal A$ . El siguiente diagrama ilustra esto en un espacio tiempo conformado
Aquí las simetrías de Poincare están en $i^0$ y las simetrías del BMS se manifiestan en ${ \cal I}^+$ .
Ahora mira la métrica cerca del horizonte de sucesos, donde en lugar de la variable de tiempo $u$ a lo largo de ${ \cal I}^+$ tenemos $v$ a lo largo del horizonte con $$ ds^2~=~- \Phi dv^2 - e^{2 \beta }dvdr~+~g_{AB}(dx^A~+~X^Adv)(dx^B~+~X^Bdv), $$ donde $ \phi $ es un potencial y $( \Phi ,~ \beta ,~g,~X)$ son funciones arbitrarias que por sí mismas no contienen simetrías particulares. La coordenada $v$ es normal $u$ a lo largo del horizonte y por lo tanto términos métricos con $dv$ son cero en el horizonte. Cerca del horizonte las traducciones del BMS son $$ \xi ~=~f(z,~ \bar z) \frac { \partial }{ \partial v}~+~ \left ( \int dr~-~X^A \partial_Af\right ) \frac { \partial }{ \partial r}~+~ \left ( \int dx~-~g^{AB} \partial_Af\right ) \frac { \partial }{ \partial X^B}, $$ donde los límites de la integral son desde el horizonte $r_h$ a $r$ o $r~ \rightarrow ~ \infty $ en ${ \cal I}^+$ . Esta es la descripción del campo cercano que comparte la misma información que la traducción anterior para la información enviada a ${ \cal I}^+$ .
La correspondencia entre ambos significa que hay información o datos asociados con el horizonte de sucesos, o justo encima del horizonte, que están codificados en ${ \cal I}^+$ . Este es el pelo suave. Esto tiene relación con los grupos de cociente. La simetría de Poincare es $P~=~BMS/ \cal A$ y desde que $ \cal A$ es un grupo abeliano que comparte algunas similitudes notables con la física del efecto Hall o el efecto cuántico fraccionario Hall con cociente $[SU(2) \times SU(1,1)]/U(1)$ . Este cabello suave es entonces una forma de carga o carga BPS asociada al horizonte de sucesos, que tiene una física notablemente similar al efecto Hall cuántico y para sacar mi cuello incluiré estados topológicos protegidos por simetría.
