Sea$\Omega\in\mathbb{R}^n$ un conjunto abierto delimitado con límite liso. Cómo probar la invertibilidad de$$- \triangle:H^2_0(\Omega) \to L²(\Omega) $ $
La inyectividad es fácil. Pero ¿cómo probar la sobrejectividad sin el uso de la noción débil de la solución (cuando el dominio se convierte en$H^1_0(\Omega)$ y esto se puede encontrar fácilmente en los libros)?
El operador$$- \triangle:H^1_0(\Omega) \to L²(\Omega) $ $ es "surjective" en el sentido débil (como un uso directo del teorema de representación de Riesz).
Entonces puede usar teoremas de regularidad para probar que, de hecho, esta solución débil está en$H^2(\Omega)$. Una buena referencia a un resultado como este es el libro de Brezis "análisis funcional, espacios de Sobolev y PDE". Véase el teorema 9.25 y tenga en cuenta que se requiere un$C^2$ dominio$\Omega$. Así que su resultado es válido de$H^1_0(\Omega)\cap H^2(\Omega) $ a$L²(\Omega) $.
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