Distribución binomial con el parámetro Uniform

Question

Tengo un problema con el siguiente ejercicio (viene de Geoffrey G. Grimmett, David R. Stirzaker, Probabilidad y Procesos Aleatorios, Oxford University Press, 2001, página 155, ex. 6):

Deje $X$ tiene la distribución binomial bin($n$, $U$), donde $U$ es uniforme en $(0,1)$. Mostrar que $X$ es distribuido uniformemente en $\{0,1,\ldots,n\}$.

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Hasta ahora tengo esto: $$P(X=k | U) = {n \choose k} U^k (1-U)^{n-k}$$ $$P(X=k) = \int_0^1 {n \choose k} u^k (1-u)^{n-k} f_U(u) \text{ d}u$$

donde $f_U(u)$ es la función de densidad de la variable aleatoria $X$, de curso $\forall u \in (0,1)\ \ f_U(u) = 1$.

$$P(X=k) = {n \choose k} \int_0^1 u^k (1-u)^{n-k} \text{d}u$$ Y no sé qué hacer... Cómo calcular esta integral? Soy la solución de la derecha hasta el momento?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Una manera de evitar el uso de sus conocimientos previos acerca de la Beta integrales (para una mayor explicación conceptual, véase la segunda parte de este post) es calcular la generación de la función de $X$, es decir, $$ \mathbb E(s^X)=\sum_{k=0}^ns^k\mathbb P(X=k)=\int_0^1\sum_{k=0}^n\binom{n}ku^k(1-u)^{n-k}s^k\mathrm du. $$ Por el teorema del binomio, $$ \sum_{k=0}^n\binom{n}k(su)^k(1-u)^{n-k}=(1-(1-s)u)^n, $$ por lo tanto $$ \mathbb E(s^X)=\int_0^1(1-(1-s)u)^n\mathrm du\stackrel{[v=1-(1-s)u]}{=}\frac1{1-s}\int_s^1v^n\mathrm dv=\frac{1-s^{n+1}}{(n+1)(1-s)}, $$ es decir, $$ \mathbb E(s^X)=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^ns^k. $$ Esta fórmula debe poner de manifiesto el hecho de que $X$ es uniforme en $\{0,1,2,\ldots,n\}$...

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...Pero la "verdadera" razón por la $X$ es uniforme podría ser la siguiente.

En primer lugar, la distribución de una suma de (i).yo.d. Las variables aleatorias de Bernoulli es la binomial. En segundo lugar, si $V$ es uniforme en $[0,1]$, la variable aleatoria $\mathbf 1_{V\leqslant u}$ es de Bernoulli con parámetro de $u$. Por lo tanto, si $(U_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ es yo.yo.d. uniforme en $[0,1]$, la variable aleatoria $\sum\limits_{i=1}^n\mathbf 1_{U_i\leqslant u}$ es binomial con parámetro de $(n,u)$.

Por lo tanto, $X$ puede ser realizado como $X=\sum\limits_{i=1}^n\mathbf 1_{U_i\leqslant U_{n+1}}$ donde $(U_i)_{1\leqslant i\leqslant n+1}$ es yo.yo.d. uniforme en $[0,1]$. El evento $[X=k]$ se produce cuando $U_{n+1}$ $(k+1)$th valor de la ordenada de la muestra $(U_{(i)})_{1\leqslant i\leqslant n+1}$. Por la intercambiabilidad de la distribución de $(U_i)_{1\leqslant i\leqslant n+1}$, $U_{n+1}$ tiene tantas posibilidades de ser en cada rango de$1$$n+1$. Este hecho significa exactamente eso $X$ es, de hecho, en uniforme de $\{0,1,2,\ldots,n\}$.

Answer 2

La integral$$\int_0^1 x^\alpha (1 - x)^\beta dx$ $ tiene una representación bien conocida en términos de$\Gamma$ funciones. En el caso entero, se reduce a factorials.

Answer 3

Sugerencia: Integración por partes :

ps
Así que repita hasta que el exponente de$$\int_0^1 u^k (1-u)^{n-k} \text{d}u = \frac{n-k}{k+1}\int_0^1 u^{k+1} (1-u)^{n-k-1} du$ se reduzca a$(1-u)$ y tenga$0$ $