El polygamma función se da generalmente por la
$$\psi^{(n)}(x)=\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\ln(\Gamma(x)),~n\in\mathbb N_{\ge0}$$
donde $\Gamma$ es la función gamma. Esto puede ser extendido para enteros negativos por dejar que
$$\psi^{(n-1)}(x)=\int_a^x\psi^{(n)}(x)$$
Por desgracia, no está fijada $a$ de manera tal que la anterior es válido para cualquier $n$, pero se capta la idea general.
El uso de fracciones de cálculo, se puede ampliar la polygamma de la función para valores complejos. Aquí, yo podría haber
$$\psi^{(z)}_u(x)=\frac1{\Gamma(1-\{a\}-bi)}\frac{d^{\lceil a\rceil+2}}{dx^{\lceil a\rceil+2}}\int_u^x\frac{\ln(\Gamma(t))}{(x-t)^{\{a\}+bi}}~\mathrm dt$$
donde $z=a+bi$, $a>-1$, $\lceil a\rceil$ es el techo de la función, y $\{a\}$ es la parte fraccionaria de $a$. $u$ podría ser cualquier constante tal que la integral converge. Para $z\in\mathbb R^+$, la expresión anterior se reduzca a la normal polygamma función independientemente de $u$ (al menos para $x>0$).
Para $a<-1$,
$$\psi^{(z)}_u(x)=\frac1{\Gamma(z)}\int_u^x(x-t)^{z-1}\ln(\Gamma(t))~\mathrm dt$$
Especialmente de interés, estoy tratando de encontrar la forma cerrada de $\psi^{(1/2)}_u(x)$.
$$\psi^{(1/2)}_u(x)=\frac1{\sqrt\pi}\frac{d^3}{dx^3}\int_u^x\frac{\ln(\Gamma(t))}{\sqrt{x-t}}~\mathrm dt$$
Aplicando la regla de Leibniz, este se reduzca a
$$\frac{d}{dx}\int_u^x\frac{\ln(\Gamma(t))}{\sqrt{x-t}}~\mathrm dt=\lim_{y\to x}\left[\frac{\ln(\Gamma(y))}{\sqrt{x-y}}-\frac12\int_u^y\frac{\ln(\Gamma(t))}{(x-t)^{3/2}}~\mathrm dt\right]$$
Sin embargo, no puedo entender cómo simplificar esto, si es posible. Tratando de atacar a la integral original, a continuación, diferenciando el resultado, estoy tentado a utilizar esta expansión de la serie, pero la integración término a término de la expresión es bastante desagradable y el resultado de la serie se ve bastante dudoso desde cualquier lugar cerca de una forma cerrada.
También seguro de si se trata de ninguna ayuda, pero si tenemos que definir adecuadamente $\sqrt z=|z|^{1/2}e^{i\theta/2}$ donde $\theta\in[0,2\pi)$, se podría intentar un ojo de la cerradura de contorno de radio $u$ centrada en $x$ a deducir que (esperemos que esta es la correcta)
$$\int_u^x\frac{\ln(\Gamma(t))}{\sqrt{x-t}}~\mathrm dt=\frac12\int_\pi^{3\pi}\frac{\Gamma(x+ue^{i\theta})}{\sqrt{-ue^{i\theta}}}~d\theta$$
Pero de nuevo, no parece muy útil
