$\int (x^2+1)/(x^4+1)\ dx$

Question

Yo he dividido el numerador y denominador por $x^2$ $\dfrac{1+x^{-2}}{x^2+x^{-2}}$ a cambiado en $(1+(x^{-2}))/[(x-x^{-1})^2 +2]$ luego tomó $x-(1/x)$ $u$ como diferenciados con respecto a los $x$ a $dx=du/(1+x^{-2})$ finalmente consiguió esta expresión:

$$\int\frac{x^2+1}{x^4+1} \, dx = \int (u ^ 2 + 2) ^ {-1} \, du$$

¡Después de esto necesito ayuda!

Answer 1

$$\int (1+u^2)^{-1} \, du = (\arctan u) + \text{constant}.$$

Se trata de tablas estándar de integrales. Así que ya hizo la parte más difícil y tenía sólo esta izquierda no.

Answer 2

Desde $x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)$, obtener $$\frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+\sqrt2x+1}+\frac{1}{x^2-\sqrt2x+1}\right). ahora, use $\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan{x}+C$.

Answer 3

Expresar el denominador de la MichaelRozenberg, $x^2 + \sqrt{2} x + 1$ en el % de forma $u^2 + 1$por lo que usted puede utilizar el formulario de $\tan^{-1}$.

Específicamente:

$x^2 + \sqrt{2} x + 1$

Que $\sqrt{2}x + 1 = u$,

por lo que

$u^2 = 2 x^2 + 2 \sqrt{2} x + 1$

por lo que

$u^2 + 1 = 2 x^2 + 2 \sqrt{2} x + 2$

o

${1 \over u^2 + 1} = {1 \over x^2 + \sqrt{2} x + 1}$.

Y asimismo para el otro término con el signo menos.

Ahora tiene la fórmula integral de arco tan, dando:

$$\frac{\tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)-\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{\sqrt{2}}$$