Que $x, y, z$ ser enteros positivos y $7 \nmid xyz$. Si $7^3|x^7+y^7+z^7$, muestra que el $7^2|x+y+z$.
por el pequeño Teorema de Fermat, $x^7 \equiv x \pmod7$, entonces el $x^7+y^7+z^7\equiv x+y+z \equiv 0 $ (mod 7)
así que tenemos $7 | (x+y+z)$. ¿Qué debo hacer a continuación?
Desde %#% $ de #% vemos que se divide que $$x^7+y^7+x^7=\sum_{cyc}(x^7-x)+x+y+z,$ $x+y+z$.
En la otra mano, se divide $7$ $ $$x^7+y^7+z^7=(x+y+z)^7-7(xy+xz+yz)(x+y+z)^5+7xyz(x+y+z)^4+$ $ $$+14(xy+xz+yz)^2(x+y+z)^3-21xyz(xy+xz+yz)(x+y+z)^2-$ $ que dice (ver último término) que $$-7(xy+xz+yz)^3(x+y+z)+7x^2y^2z^2(x+y+z)+7xyz(xy+xz+yz)^2,$ $(xy+xz+yz)^2$ o $7$ se divide en $xy+xz+yz$.
Así, se divide $7$ $7x^2y^2z^2(x+y+z)$ y hemos terminado!
SUGERENCIA:
Si $x+y\equiv0\pmod7,$ hemos terminado
De lo contrario
Podemos escribir $z=7a-x-y$
$$x^7+y^7+z^7=x^7+y^7+(7a-x-y)^7$$
$$(7a-x-y)^7\equiv-(x+y)^7+7(7a)(x+y)^6\pmod{7^3}$$
$$\implies-(x+y)^7+7(7a)(x+y)^6\equiv0\pmod{p^3}$$
As $7\nmid(x+y),$ $$x+y\equiv-49a\pmod{7^3}$$
que es imposible como $7\nmid(x+y)$
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