Por qué subconjuntos densos son convenientes demostrar teoremas

Question

Podría por favor explicar el siguiente concepto (preferiblemente por ejemplos) sobre subconjuntos densos:

Si quiere demostrar que cada punto de $A$ tiene una cierta propiedad que se conserva en límites, entonces es suficiente para demostrar que todos los puntos en un subconjunto denso $B$ $A$ tiene esa propiedad.

¿Cuáles son los ejemplos de las propiedades que se conservan bajo límites?

¿Por qué es suficiente para demostrar estas propiedades para un subconjunto denso $B\subseteq A\subseteq closure(B)$?

Answer 1

Voy a dar dos ejemplos en Álgebra Lineal en donde la densidad puede ser explotado en un muy resbaladiza.
Muchos otros ejemplos se pueden encontrar en la Teoría de la Aproximación y el Análisis Funcional.

Cayley-Hamilton teorema. Si $p$ es el polinomio característico de a$A$,$p(A)=0$.
Prueba. Si $A$ es diagonalizable la matriz de la demanda es trivial mediante la aplicación de $p$ a la forma normal de Jordan de a $A$. Si $A$ no es diagonalizable la matriz, puede ser hecho por la introducción de una arbitrariamente pequeña perturbación $A\mapsto A_\varepsilon$. Desde $p$ es continua la demanda de la siguiente manera por la densidad.

La traza es abelian. Tenemos $\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$.
Prueba. Si $A$ es invertible, entonces a $AB$ $BA= A^{-1}(AB)A$ son conjugados matrices, por lo tanto tienen el mismo polinomio característico y la misma traza. Si $A$ a no es invertible, puede ser hecho por considerar $A+\varepsilon I$. Desde $\text{Tr}$ es un continuo operador, el reclamo sigue por la densidad.

Eso debería ser suficiente para empezar a comprender por qué la densidad es muy importante: nos da una manera rigurosa para "hacer trampa", es decir, para trabajar con mayor regularidad supuestos.

Answer 2

Digamos que usted ha querido demostrar que la suma de Riemann (o Lebesgue) las integrales de los dos reales-valores de las funciones con el mismo dominio es igual a la integral de la suma. (Suponemos, por supuesto, que cada una de las dos funciones es integrable en el sentido).

Para ello, en primer lugar demostrar esta propiedad para el paso de las funciones (para las integrales de Riemann) o para funciones simples (para integrales de Lebesgue). E. g., para Lebesgue integrales, las funciones simples son densos en el $L^{1}$-espacio, así que para dos funciones generales $f, g$, el resultado $$ \int f + \int g = \int (f + g) $$ de la siguiente manera: la aproximación de cada una de las $f, g$ por funciones simples $s_{f}, s_{g}$ con exactitud dentro de $\epsilon/2$ en el sentido de la $L^{1}$-distancia. Para las funciones de la $s_{f}, s_{g}$, la deseada igualdad es verificable, más o menos directamente. Por lo tanto, obtenemos que $$ |\int f + \int g - \int (f + g)| < \epsilon. $$ Este es uno para cada positivos $\epsilon$, por lo que $$ |\int f + \int g - \int (f + g)| = 0. $$

Otro ejemplo es la prueba del Teorema de Plancherel.

Answer 3

Considere esta declaración: Si el $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb R$ es continua y tan that$$(\forall x,y\in\mathbb{R}):f(x+y)=f(x)+f(y)\text,$$then there is a $c\in\mathbb R $ such that$$(\forall x\in\mathbb{R}):f(x)=cx.$$In order to prove it, take $c = f 1$. It is easy to prove by induction that$$(\forall n\in\mathbb{N}):f(n)=cn.$$Furthermore, $f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) $ and so $f (0) =0=c\times0$. On the other hand, if $n\in\mathbb N $, $0 = f (0) = f\bigl (n + (-n) \bigr) = f (n) + f(-n) $, and so $f(-n) =-f (n) =-cn = c\times(-n) $. So$$(\forall n\in\mathbb{Z}):f(n)=cn.$$It is now easy to prove that$$(\forall q\in\mathbb{Q}):f(q)=cq.$$But how do you prove now that$$(\forall x\in\mathbb{R}):f(x)=cx?$$Simple: you use the fact that $\mathbb Q$ is dense in $\mathbb R$.

Answer 4

Deje $B$ ser un subconjunto denso de $A$. Supongamos que la propiedad $P$ se conserva bajo los límites y sabemos que cada punto en $B$ satisface la propiedad $P$.

Ahora elige un punto arbitrario de $A$, decir $a$. A continuación, $a=\lim_n b_n$ de los elementos de la $B$ cada uno de los cuales tienen la propiedad y desde nuestra propiedad, incluso tiene para el límite, que tiene de $a$.

Motivación: Los mejores y más relevantes ejemplos de esto se produce cuando se trabaja en un espacio de $X$ donde sus puntos son funciones. Así podemos hablar de varias propiedades como continua, (insertar-matemático del nombre)-integrable, diferenciable, acotado, armónica, analítica, etc.

Para dar un ejemplo importante a resaltar la importancia de esta noción, permítanme mencionar que ha habido generaciones de matemáticos cuyos ilustres carreras se dedica a estudiar las condiciones bajo las cuales la integral de un límite de funciones es el límite de la integral.