Dada una secuencia de $a_1 = 1$. Y $a_n = a_{n - 1} + a_{\lfloor n/2 \rfloor}$ $n \geq 2$, que $a_n$ no es divisible por 4 para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
No tiene ninguna conjeturas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Algunos consejos
Observe que $a_{2n+1}=a_{2n-1}+2a_n$. $a_1$ Es extraño, todas las $a_n$ son impares impares $n$.
A continuación, $a_{4n+2}=a_{4n+1}+a_{2n+1}$ incluso.
Y $$a_{4n+2}=a_{4n+1}+a_{2n+1}=a_{4n-1}+2a_{2n}+a_{2n-1}+2a_n=a_{4n-2}+a_{2n-1}+3a_{2n-1}+4a_n=a_{4n-2}+4a_{2n-1}+4a_n$$ which shows by recurrence that $ a_ {4n + 2} $ no es divisible por 4.
$a_{4n+4}=a_{4n+3}+a_{2n+2}$. En el caso donde es $n$, esto es la suma de un uniforme y un término extraño. Si es impar, $n$ $$a_{4n+4}=a_{4n+3}+a_{2n+2}=a_{4n+2}+a_{2n+1}+a_{2n+1}+a_{n+1}=a_{4n+2}+2a_{2n-1}+4a_n+a_{n+1}=2+2+a_{n+1} \ (\textrm{mod} \ 4) = a_{n+1}\ (\textrm{mod} \ 4)$$ Again by recurrence and contradiction (saying that $ a_ {4n + 4} $ is the smallest element in the list to be divisible by 4) we show that $ a_ {4n + 4} $ no es divisible por 4.
Normalmente esto cubre todos los casos.
