$\int_0^\infty\text{Ci}(x)^3\mathrm dx$

Question

Hay una forma cerrada para esta integral: $$\int_0^\infty\text{Ci}(x)^3\mathrm dx,$$ donde $\text{Ci}(x)=-\int_x^\infty\frac{\cos z}{z}\mathrm dz$ es el coseno integral?

Answer 1

La respuesta es $$\int_0^{\infty}\text{Ci}^3x\,dx=-\frac{3\pi\ln 2}{2}.$$ Me gustaría comercio el método de evaluación para la historia convincente sobre lo que hizo esta integral interesante para usted. La historia debe ser más que "un amigo mío dijo que podría ser calculado en forma cerrada".

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Actualización: No, que yo estaba muy convencido por el comentario de abajo... pero para aquellos que eventualmente se como resolverlo:

1. Usando ese $\int\mathrm{Ci}\,x\,dx=x\,\mathrm{Ci}\,x-\sin x$, integrar, de una vez por partes. Esto produce que las dos integrales:
   • $\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin 2x}{x}\mathrm{Ci}\,x\,dx=-\frac{\pi}{2}\ln 2$ (computable por Mathematica),
   • $\displaystyle \int_0^{\infty}\cos x \,\mathrm{Ci}^2x\,dx$
2. La integración de la 2ª a la expresión de una vez de nuevo por las partes (con $u=\mathrm{Ci}^2x$, $v=\sin x$), una vez más se reduce el problema a la computación $\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin 2x}{x}\mathrm{Ci}\,x\,dx$.

Answer 2

Continuando desde la O. L. de la respuesta, la siguiente es una evaluación de $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x} \text{Ci}(x) \ dx .$$

Primer aviso de que al hacer la sustitución de $ \displaystyle u = \frac{t}{x}$,

$$ \text{Ci}(x) = - \int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} \ dt = - \int_{1}^{\infty} \frac{\cos xu}{u} \ du.$$

Por lo tanto,

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x} \text{Ci}(x) \ dx = - \int_{0}^{\infty} \int_{1}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x} \frac{\cos xu}{u} \ du \ dx .$$

La integral iterada no converge absolutamente. Para cambiar el orden de integración no está justificada por el teorema de Fubini.

Pero integrando por partes,

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x} \text{Ci}(x) \ dx &= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (2x) \sin (x)}{x^{2}} \ dx - \int_{0}^{\infty} \int_{1}^{\infty} \frac{\sin (2x) \sin (xu)}{x^{2}u^{2}} \ du \ dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (2x) \sin (x)}{x^{2}} \ dx - \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (2x) \sin(ux)}{x^{2}} \ dx \ du \end{align}$$

donde cambiar el orden de integración de la segunda integral se justifica por el teorema de Fubini.

En general, para $a,b > 0$, $$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (ax) \sin (bx)}{x^{2}} \ dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{a \cos (ax) \sin (bx) + b \sin(ax) \cos(bx)}{x} \ dx \\ &= \frac{a}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin[(a+b)x] - \sin [(a-b)x]}{x} \ dx + \frac{b}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin [(a+b)x] + \sin[(a-b)x]}{x} \ dx \\ &= \frac{a}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \text{sgn} (a-b) \right) + \frac{b}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \text{sgn} (a-b) \right) \\ &= \frac{\pi}{2} \min \{a,b \} . \end{align}$$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x} \text{Ci}(x) \ dx &= \frac{\pi}{2} \text{min} \{2,1 \} - \frac{\pi}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}} \text{min} \{2,u \} \ du \\ &= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \int_{1}^{2} \frac{u}{u^{2}} \ du - \frac{\pi}{2} \int_{2}^{\infty} \frac{2}{u^{2}} \ du \\ &= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{2} \\ &= - \frac{\pi}{2} \ln 2 . \end{align}$$