Dar el ejemplo de dos grupos no isomorfos que tienen mismo como conjuntos.

Question

Existe dos grupos no isomorfos con las siguientes propiedades:

1 dos grupos son iguales como conjuntos.

2 dos grupos tienen el mismo elemento de identidad.

3 cada elemento tiene inverso mismo en cada uno de los grupos.

He hecho un ejercicio en el capítulo de isomorfismo de libro de J.Gallian donde se cumplen todos los criterios pero son isomorfos. ¿Pero hay un ejemplo no-isomorfo?

Answer 1

Supongamos $G$ $H$ son cualquiera de los dos grupos del mismo tamaño, que tienen el mismo número de elementos de orden $2$. Supongamos que escribes $G=\{e_{\small G}\}\sqcup X\sqcup A\sqcup A'$ $H=\{e_{\small H}\}\sqcup Y\sqcup B\sqcup B'$ donde $X,Y$ son los elementos de orden $2$ $A\sqcup A',B\sqcup B' $ son particiones de otros elementos no triviales de $G,H$ de manera tal que no hay dos elementos en sólo uno de los conjuntos son mutuamente inversas.

(Así, por ejemplo, si $a\in A$$a^{-1}\in A'$.)

Cualquier par de bijections $X\to Y,A\to B$ se extiende a un bijection $f:G\to H$ mediante el establecimiento de las condiciones y $f(e_{\small G})=e_{\small H}$ $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ todos los $a\in A$. A continuación, $f$ puede ser utilizado para el transporte de la estructura para hacer $H$ tiene dos operaciones del grupo con las mismas matrices inversas.

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El más pequeño ejemplo de cuando dos nonisomorphic grupos tienen el mismo orden y el mismo número de elementos de orden $2$ son el grupo cíclico $\mathbb{Z}_8$ y el grupo de cuaterniones $Q_8$. En este caso, podemos biject $\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ $\{\bar{0},\bar{1},\cdots,\bar{7}\}$ como sigue:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mathbb{Z}_8 & Q_8 \\ \hline \bar{0} & 1 \\ \hline \bar{1} & i \\ \hline \bar{2} & j \\ \hline \bar{3} & k \\ \hline \bar{4} & -1 \\ \hline \bar{5} & -k \\ \hline \bar{6} & -j \\ \hline \bar{7} & -i \\ \hline \end{array}$$

Esto nos permite activar $Q_8$ en un grupo cíclico con respecto a un funcionamiento diferente $\bullet$, estipulando $1$ es todavía la identidad con respecto a $\bullet$, el elemento $i$ es cíclica generador, su primer poderes se $i\bullet i=j$$i\bullet i\bullet i=k$, y todos los elementos inversos están dadas por $-x$ (de modo que $-x\bullet x=1$).

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Hay dos ideas en esta respuesta. La primera es que el transporte de la estructura nos dice dos operaciones en el mismo conjunto es equivalente a un bijection entre dos conjuntos con operaciones. La segunda es que el bijection necesitamos debe ser un isomorfismo de punta $\mathbb{Z}_2$-conjuntos, donde cualquier grupo de $G$ es la punta de su conjunto, porque la identidad es un elemento distinguido y es un $\mathbb{Z}_2$-set debido a $\mathbb{Z}_2$ actúa en $G$'s conjunto subyacente por la recíproca ($g\leftrightarrow g^{-1}$).

Answer 2

Deje $G$ $H$ no ser isomorfo a grupos con un bijection $f$ entre ellos, y que tienen el mismo número de orden de $2$ elementos (hay un bijection $m$ entre ellos). Podemos construir grupos de $\tilde G$ $\tilde H$ la satisfacción de los criterios de la siguiente manera:

1. Crear un léxico para los elementos de $G$ arbitrariamente (es decir, asignar nombres de elemento de $a,b,c,d$). Llame el conjunto subyacente $S$.
2. Asignar la identidad de $G$ $H$ la misma letra. es decir,$e$.
3. Para todos los elementos de la $a \in G$ orden $2$, asignar la etiqueta $a$ para el elemento $m(a)$.
4. Para todos los otros elementos, asignar nombres en $H$ cualquier manera que quieras, siempre y cuando inversa parejas también son inversas pares en $G$.

Los grupos de $G$ $H$ con sus nuevos léxicos se $\tilde G$$\tilde H$.

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Ejemplo

Deje $G = \mathbb Z/(4\mathbb Z)$$H = \mathbb Z/(2\mathbb Z) \times \mathbb Z/(2\mathbb Z)$.

1. Arbitrariamente, vamos a llamar a los elementos de $G$ por sus nombres convencionales en aritmética modular: $0,1,2,3$.

2. El elemento $0$ es la identidad, así que vamos a la identidad de $H$ ser etiquetados como tales.

3. No hay un solo elemento de orden $2$, es decir, el elemento llamado $2$, y así nos dejas el nombre del elemento de orden $2$ $H$ la misma cosa.

4. Hay dos elementos restantes. Una inversa de par en $G$: $1$ y $3$. Nos pueden decir el nombre de los dos elementos restantes de $H$, de modo que uno de ellos es $1$, y el otro es $3$. No importa que camino alrededor.

Grupos resultantes:

$$\tilde G = \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline +&0&1&2&3 \\ \hline 0&0&1&2&3 \\ \hline 1&1&2&3&0 \\ \hline 2&2&3&0&1 \\ \hline 3&3&0&1&2 \\ \hline \end{array}, \quad \tilde H = \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline && (0,0) & (0,1) & (1,1) & (1,0)\\ \hline &+&0&1&2&3 \\ \hline (0,0)&0&0&1&2&3 \\ \hline (0,1)&1&1&2&3&2 \\ \hline (1,1)&2&2&3&0&1 \\ \hline (1,0)&3&3&2&1&0 \\ \hline \end{array}$$