Cuestión de aritmética de Aleph

Question

Queremos demostrar que:

$$\aleph_2^{\aleph_0} = \aleph_2\aleph_1^{\aleph_0}$$

Mi idea era enfocar esto haciendo un argumento estilo de Schroder-Bernstein y demostrando esta mostrando las dos desigualdades, pero que no parecen funcionar debido a la extra $\aleph_2$ en el lado derecho. ¿Alguna sugerencia para esto? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Demostrar que $\aleph_1^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$. Ahora, observe eso si $\aleph_2\geq2^{\aleph_0}$ igualdad sobreviene; y si al revés entonces también igualdad sobreviene puesto que en ese caso $\aleph_0^{\aleph_0}\leq\aleph_2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.

Más en general, esto es fórmula de Hausdorff para exponentiation cardinal aplicado $\alpha=1$.

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Edición: Muestran que generalmente $\kappa^\lambda=|\{A\subseteq\kappa\mid |A|=\lambda\}|$. Tenga en cuenta que hay números ordinales de $\aleph_2$ $\aleph_1$ de tamaño, y cada subconjunto contable de $\aleph_2$ es en realidad un subconjunto contable de un ordinal de tamaño $\aleph_1$.