He encontrado una manera de utilizar la Serie de Taylor. He puesto aquí por referencia.
Utilizando la fórmula para el Kernel directamente, con normaliza y volver a introducir las variables de $\widetilde{X}:=\sqrt{2N}+2^{-1/2}N^{-1/6} X$ et $\widetilde{Y}:=\sqrt{2N}+2^{-1/2}N^{-1/6} Y$, tenemos
\begin{align}
K(X,Y)
&= \lim_{N\to\infty}\frac{e^{-\widetilde{X}^2\!/2}e^{-\widetilde{Y}^2\!/2}}{2^{N+\frac{1}{2}}\pi^{\frac{1}{2}}N^{\frac{1}{6}}(N-1)!}
\frac{H_N(\widetilde{X})H_{N-1}(\widetilde{Y})-H_{N-1}(\widetilde{X})H_{N}(\widetilde{Y})}{\widetilde{X}-\widetilde{Y}}.\notag\\
&\sim \lim_{N\to\infty}\frac{\pi^2}{N^{\frac{1}{12}}(N-1)^{\frac{1}{12}}}\sqrt{\frac{N!}{(N-1)!}}
\frac{\text{Ai}(X)\Psi_{N-1}(\widetilde{Y}) - \Psi_{N-1}(\widetilde{X})\text{Ai}(Y)}{X-Y}. \notag\\
&:=\lim_{N\to\infty} f(N) \frac{\text{Ai}(X)\Psi_{N-1}(\widetilde{Y}) - \Psi_{N-1}(\widetilde{X})\text{Ai}(Y)}{X-Y}
\end{align}
donde $f(N)$ es alguna función de $N$. Para simplificar aún más el cálculo, se ha utilizado
\begin{align}
\Psi_{N-1}(\widetilde{X_i})&=\text{Ai}\left(\sqrt{2}(N-1)^{1/6}\left(\sqrt{2N}-\sqrt{2(N-1)}+\frac{X_i}{\sqrt{2}N^{1/6}}\right)\right):=\text{Ai}(\alpha X_i+\beta).
\end{align}
con $\alpha=[(N-1)/N]^{1/6}$, $\beta:=2(N-1)^{1/6}(\sqrt{N}-\sqrt{N-1})$ y $X_i=X,Y$.
Ahora, vamos a ampliar las funciones de Airy $\Psi(X_i)$ acerca de los puntos de $X_{i_0}$:
\begin{align}
\text{Ai}(\alpha X+\beta)=& \text{Ai}(\alpha X_0+\beta)+\alpha (X-X_0) \text{Ai}'(\alpha X_0 + \beta) + \mathcal{O}\bigl((X-X_0)^2\bigr)\\
\text{Ai}(\alpha Y+\beta)=& \text{Ai}(\alpha Y_0+\beta)+\alpha (Y-Y_0) \text{Ai}'(\alpha Y_0 + \beta) + \mathcal{O}\bigl((Y-Y_0)^2\bigr),
\end{align}
donde suponemos que de orden superior plazo no contribuyen por ahora. La sustitución de la $\Psi(X_i)$ $K(X,Y)$ rendimientos
\begin{align}
K(X,Y)
\approx \lim_{N\to\infty} \alpha f(N) \frac{(Y-Y_0)\text{Ai}(X)\text{Ai}'(\alpha Y_0+\beta) - (X-X_0)\text{Ai}'(\alpha X_0+\beta)\text{Ai}(Y)}{X-Y}.
\end{align}
Ya tenemos el deseo de eliminar las dependencias en $(X-X_0),(Y-Y_0)$ $\alpha f(N)$ coeficiente de forma simultánea, seleccionamos $X_{i_0}=X_i-\alpha^{-1}f(N)^{-1}$ como punto de expansión. Por lo tanto
\begin{align}
K(X,Y)
\approx \lim_{N\to\infty} \frac{\text{Ai}(X)\text{Ai}'\bigl(\alpha Y - f(N)^{-1}+\beta\bigr) - \text{Ai}'\bigl(\alpha X - f(N)^{-1}+\beta\bigr)\text{Ai}(Y)}{X-Y}.
\end{align}
Usando la aproximación de Stirling, se comprueba fácilmente que
\begin{align}
\frac{1}{f(N)}
= \frac{N^{\frac{1}{12}}(N-1)^{\frac{1}{12}}}{\pi^2}\sqrt{\frac{(N-1)!}{N!}}
\sim \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\pi^2} \frac{ (N-1)^{\frac{N}{2}-\frac{1}{6}} }{ N^{\frac{N}{2}+\frac{1}{6}}}
\end{align}
que a su vez nos permite evaluar el límite de las operaciones de
\begin{align}
&\lim_{N\to\infty} \alpha = \lim_{N\to\infty} \left(\frac{N-1}{N}\right)^{1/6} = 1 \\
&\lim_{N\to\infty} \beta = \lim_{N\to\infty} 2(N-1)^{\frac{1}{6}}\bigl(\sqrt{N}-\sqrt{N-1}\bigr) = 0 \\
&\lim_{N\to\infty} \frac{1}{f(N)} = 0
\end{align}
Desde $\text{Ai}'\bigl(\alpha Y - f(N)^{-1}+\beta\bigr) $ es continua en el límite de $N\to\infty$, del orden de evaluación no importa, y podemos evaluar el argumento de la primera. Así
\begin{align}
K(X,Y) = \frac{\text{Ai}(X)\text{Ai}'(Y) - \text{Ai}'( X)\text{Ai}(Y)}{X-Y}.
\end{align}
Ahora podemos comprobar que el TS aproximación se justifica. Fácilmente se puede comprobar que los términos de orden superior de la escala como $\mathcal{O}(f(N)^{-d})$, $d$ la orden. Por tanto, nuestra aproximación no es irrazonable.
$\mathcal{QED}.$
