Iteración de punto fijo

Question

¿Existen funciones $f$ de una única variable real $x\in X$ que no son mapas contractivos en el conjunto $X$, pero para las cuales, dado el punto inicial $x_0$, la iteración del punto fijo $x_n=f(x_{n-1})$, para $n=1,2,3, \dots$ aún convergerá a un punto fijo?

Answer 1

Considera la función $f=\chi_{\mathbb Q}$ (es decir, $f(x)=1$ si $x$ es racional y $0$ en caso contrario). No es en ningún lugar continua, y mucho menos contractiva. Por otro lado, $f(f(x))=1$ para todo $x$.