¿Difiere $\Bbb R$ $\Bbb R^ⁿ$ donde $n > 1$, en que $\Bbb R$ no es un conjunto de $1$-tuplas?

Question

$\Bbb R^n$ donde $n\gt1$ parece ser definido como un conjunto de $n$-tuplas, $\Bbb R$ se define un conjunto de números. Algunas preguntas:

1. Qué $\Bbb R^1$ igual $\Bbb R$, o sea que es el conjunto de $\{(a):a\in\Bbb R\}$?
2. Es, por ejemplo, $\Bbb R^2\times\Bbb R^2$ el conjunto $\{((a,b),(c,d)):a,b,c,d\in\Bbb R\}$?

Disculpas si se ha pedido, no pudimos encontrar una coincidencia de que se trate.

Editar:

Gracias por los comentarios y las respuestas hasta ahora! Ha habido un par para el efecto de que las distinciones de este tipo no tienen consecuencias prácticas. Voy a intentar esbozar un escenario donde a mí me parece que sí importa.

Supongamos que yo estoy presentando algunas argumento matemático que se aplica el producto Cartesiano $A\times B$ arbitraria de conjuntos de $A$$B$. Entonces, parece natural pensar resultante de la entidad como un conjunto de pares ordenados, y, por ejemplo, "recoger " aparte" diciendo por ejemplo, "vamos a $(a,b)\in A\times B$", donde implícitamente $a\in A$$b\in B$.

Ahora supongamos que usted mira en el caso especial donde $A=B=\Bbb R^2$. Me parece que se puede desear $a$ $b$ a siendo cada denotan elementos de $\Bbb R^2$.

Answer 1

Formalmente hablando de un conjunto perspectiva teórica, sí, $\Bbb R^1$ $\Bbb R$ son diferentes. Estás en lo correcto al observar que un elemento de $\Bbb R$ no es generalmente una $1$-tupla.

Usted también es correcto que $\Bbb{R^2\times R^2}$ es un conjunto de $2$-tuplas que en cada coordinar también el anfitrión de una $2$-tupla de elementos de $\Bbb R$.

Pero aquí está la cosa. Hay un canónicas de identificación del mapa entre el$\Bbb{R^2\times R^2}$$\Bbb R^4$. Y hay una forma canónica para identificar a $\Bbb R^1$ $\Bbb R$ sí. Desde estas identificación son tan canónica de conservar, a menudo es más fácil abusar de la notación y sólo omitirlos y reemplace $\Bbb{R^2\times R^2}$ $\Bbb R^4$ a nuestra conveniencia (y a veces reemplace $\Bbb R^4$ con algunos de descomposición en producto de algún tipo).

Estas cosas pueden ser algo más que expresó cuando se considere la posibilidad de infinitas dimensiones de los espacios. Como $\Bbb R^\infty$, el espacio de eventualmente $0$ secuencias, que también puede ser pensado como $\Bbb R[x]$. Como un espacio vectorial, $\Bbb R\times\Bbb R^\infty$ es sólo $\Bbb R^\infty$ nuevo. Pero, ¿qué acerca de la $\Bbb R^\infty\times\Bbb R$? Ahora estos son secuencias que son, finalmente,$0$, y tienen "un extra de coordenadas en el extremo". Para la mayoría de las personas estas que no tendría mucho sentido, y que iba a ir sobre su forma argumentando que el producto es conmutativo, así que podemos cambiar el orden y está muy bien. Y de nuevo, en muchos contextos, este es el caso. Pero a partir de una formal perspectiva, este no es el caso, ya que los $1+\omega\neq\omega+1$ como ordinal (que es lo que tenemos aquí, la verdad).

Answer 2

Un $1$-tupla es una función de $\{1\} \to \mathbb R$. Visto así, un $1$-tupla no es un número real. Por lo tanto, si uno define el $\mathbb R^1$ como el conjunto de todos los $1$-tuplas de números reales, entonces $\mathbb R^1 \neq \mathbb R$. Sin embargo, de curso $\mathbb R^1 \cong \mathbb R$, por lo que puede ser considerada la misma a todos los efectos.

$\mathbb R^2 \times \mathbb R^2$ es lo que usted ha mencionado, y de esta manera no es lo mismo que $\mathbb R^4$, aunque como es arriba es $\cong$ a, por lo que puede ser considerada la misma a todos los efectos.

Nota, sin embargo, que por lo general, para cualquier conjunto $X$, $X^1$ se define a ser $X$ sí.