¿Significado físico o geométrico del complejo derivado?

Question

Como en el real derivada de una función en un punto es una pendiente de una función en ese punto. ¿Cuál es el significado físico o geométrico del complejo derivado de una función en un punto?

Cualquier ayuda es apreciada.

Gracias.

Answer 1

Usted puede pensar de la derivada como la expresión local/instantáneo estiramiento y rotación.

Por ejemplo, supongamos que una función real $f$$f'(a)=2$, para algunas de las $a$. Podemos pensar en esto como diciendo que cerca de $a$ la función es (aproximadamente) la duplicación de la distancia, hasta la adición de una constante. Esto es lo que la recta tangente a $2(x-a)+f(a)$ expresa.

Ahora para una función compleja, $f'(a)=re^{i\theta}$ dice que cerca de $a$ somos (aproximadamente) de estiramiento/reduciendo las distancias por el factor de $r$, y también la rotación del ángulo de $\theta$. Por ejemplo, $f'(a)=i$ significa que sólo estamos girando a la izquierda por $\pi/2$ radianes. Y $f'(a)=-i/2$ significa que se están reduciendo por un factor de 2 y girando a la izquierda por $3\pi/2$ radianes.

Answer 2

La función se ve localmente como $f(z)\approx f(z_0)+f'(z_0) (z-z_0)$. Eso es lo que significa.

O usted puede decir las cosas en términos de álgebra lineal. Me he encontrado con estas preguntas esclarecedoras sobre el tema:

¿Por qué el complejo conjugado de una variable se trata como una constante a la hora de diferenciar con respecto a esa variable?

Podemos probar la de Cauchy-Riemann ecuaciones usando la forma de la matriz de un número complejo?

Y mi propia pregunta (con mi propia respuesta y no otra entrada - ¿qué puedo decir): Es allí una manera de escribir la de Cauchy-Riemann ecuación ∂f/∂z=0, sin apelar a multivariable de cálculo?