$\mathbb Z/n\mathbb Z$ no es un módulo proyectivo

Question

Quiero mostrar que $\mathbb Z/n\mathbb Z$ no es proyectivo $n\geq 2$. Que elija la secuencia exacta $\mathbb Z\stackrel{\pi}\rightarrow\mathbb Z/n\mathbb Z\rightarrow 0,$ y $\mathbb Z/n\mathbb Z$ $\mathbb Z/n\mathbb Z$ seleccione el mapa de la identidad y que $\phi$: $\mathbb Z/n\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z$, si puedo mostrar que no hay el diagrama es conmutada, después se hace, es decir $\text{id}=\phi\circ \pi$ no puede ser verdad para cualquier $\phi$, pero estoy confundida, por qué no es. Espero alguien me puede ayudar con eso, gracias de antemano.

Answer 1

Si $\phi:\mathbb Z/n\mathbb Z\to \mathbb Z$ es un homomorfismo, entonces $\phi(i)$ debe tener orden finito para todos $i\in\mathbb Z/n\mathbb Z$, ya que $i$ orden finito. Pero el único elemento de $\mathbb Z$ con orden finito es $0$. $\phi$ Debe ser trivial, por lo tanto, $\phi\circ \pi\ne \mathrm{id}$.

Answer 2

Más directamente, un grupo abelian (es decir, un módulo de %#% y #%) es proyectivo iff es un Grupo abeliano libre y claramente un Grupo abeliano de torsión no puede ser libre.