Probar

Question

Por un principio de cálculo de estudiante, demostrar $\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) = 2\pi$

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Supongo que esto significa algo como

Permitidas: Pre-universitarios de matemáticas, precálculo, básica de cálculo hasta las técnicas de integración, de Bernoulli es la regla para las secuencias, dos de la policía a las personas teorema de secuencias, $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(\lim_{n \to \infty} a_n)$ si $f$ es continua

No se permite: la Monotonía Teorema de Convergencia, series de Taylor, coordenadas polares y material avanzado en real y en el análisis complejo y similares (por ejemplo, limsup, liminf, Stolz–Cesàro teorema de Cauchy secuencias)

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Lo que he intentado:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) \le \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} = 2\pi$$

El uso de las dos de la policía a las personas teorema, tengo que encontrar algún $a_n$ s.t.

1. $$\lim_{n \to \infty} a_n = 2\pi$$

2. $$\frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) \ge a_n $$

3. $$a_n \ne \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n})$$

Preguntas:

1. Lo $a_n$ puedo usar?

2. ¿De qué otra manera puedo abordar este problema?

3. Podría decir que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) \color{red}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} = 2\pi$$

debido a $\lim \sin(\pi/n) = \lim \pi/n$ y por la misma razón que justifica el paso 3 aquí?

Así es como

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}} = 2\pi (1) = 2\pi$$

?

4. ¿Cuál es la técnica aquí exactamente? Normalmente cuando veo una función trigonométrica (por ejemplo, $\sin$ o $\cos$), mi instinto es ignorar el argumento y se centran en la gama si es posible (por ejemplo,$[-1,1]$). Sin embargo, lo que parecería dar a me $-\infty < L < \infty$

Answer 1

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \sin(\frac{\pi}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3}{2n^2+1} \frac{\pi}{n} \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}} = 2\pi (1) = 2\pi$$

Cuando uno ve $\sin$ o $\cos$, no es necesariamente para exprimir. Podría ser para la aplicación de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Creo que se extiende a algo como:

$$\lim_{x \to c} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$$

donde $c \in \overline{\mathbb R}$, $f(x) \ne 0$ es continua y diferenciable y $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} f'(x) = 0$

Answer 2

responder a la pregunta 3: sí, definitivamente puede cambiar $\sin { \dfrac { \pi }{ n } } $ $ \dfrac { \pi }{ n } $ directamente sin aplicar $\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } }{ x } } =1$. eso se llama sustitución de infinitesimal de equivalencia.