Probar

Question

Si $x,y,z$ son números reales positivos que $xyz=1$ , Probar

a) $\frac{xy}{x^8+xy+y^8}+\frac{yz}{y^8+yz+z^8}+\frac{zx}{z^8+zx+x^8}\leq1$

b)$\frac{(xy)^7}{x^8+(xy)^7+y^8}+\frac{(yz)^7}{y^8+(yz)^7+z^8}+\frac{(zx)^7}{z^8+(zx)^7+x^8}\leq1$

Información adicional: se debe utilizar la siguiente desigualdad para demostrar la $$x^8+y^8\geq x^7y+y^7x\geq x^6y^2+y^6x^2\geq...\geq2x^4y^4$$

y más general de esta desigualdad $$a^{m+n}+b^{n+m}\geq a^nb^m+a^mb^n$$

Cosas que he probado hasta ahora: Para Probar la existencia de una) puedo escribir $$\frac{xy}{x^8+xy+y^8}\leq\frac{xy}{x^7y+xy+y^7x}=\frac{1}{x^6+y^6+1}$$

Y continuando con esta $$\frac{1}{x^6+y^6+1}\leq \frac{1}{x^4y^2+y^4x^2+x^2y^2z^2}=\frac{1}{x^2y^2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{\frac{1}{z^2}(x^2+y^2+z^2)}=\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}$$

Haciendo estos otros dos fracciones, podemos demostrar la desigualdad.

para la parte b, traté de hacer lo mismo pero no tuve éxito. por ejemplo, yo acabar con estas desigualdades $\frac{(xy)^7}{x^8+(xy)^7+y^8}\leq \frac{x^3y^3}{2+x^2y^2}$ que no es útil para demostrar el problema.

Answer 1

Después del primer paso se convertirá en $\frac{(xy)^6}{x^6+y^6+(xy)^6}=\frac{1}{\frac{1}{y^6}+\frac{1}{x^6}+1}$ después como dije será $\frac{1}{a^6+b^6+1}$ ahora solo tienes que seguir lo que haces en un)