Imagen mental de las interacciones en QFT

Question

Pido disculpas de antemano por la posible vaguedad de mi pregunta. Si no es una buena pregunta, una explicación de por qué no lo es sería una respuesta muy útil para mí.

Estoy tratando de encontrar una imagen mental útil de las interacciones en QFT. Creo que este tipo de imágenes mentales son una ayuda indispensable para captar conceptos abstractos de alguna manera intuitiva que puede guiarte a la hora de hacer cálculos difíciles, pero cuando la imagen es inexacta también puede llevarte por el camino equivocado.

He visto como imagen mental de las interacciones por intercambio de partículas en la QFT a dos personas que lanzan una pelota de un lado a otro, lo que resulta en una fuerza repulsiva. En el caso de las fuerzas atractivas, lanzan un boomerang, o una pelota con momento negativo.

Realmente no veo cómo esta imagen puede guiarnos de manera significativa, aunque tal vez sea porque no entiendo la QFT lo suficientemente bien.

Estaba pensando que quizás una imagen útil sería seguir pensando en términos de partículas puntuales, pero su interacción es a través de un campo, como requiere la localidad. De hecho, ambas partículas interactúan con el campo, en lugar de hacerlo directamente entre ellas. Como se trata de un campo cuántico, los cambios en el campo se cuantifican: el cambio se interpreta como la adición de una partícula al campo, o la absorción de una partícula del campo. Si esta imagen es más o menos correcta, las partículas que interactúan no intercambian realmente partículas, sino que ambas interactúan con el campo de bosones, alterándolo, lo que a su vez hará algo a la otra partícula.

Sin embargo, creo que esto no puede ser realmente exacto: las partículas añadidas al campo o absorbidas de él son virtuales, por lo que no son observables: no pueden originarse de una sola partícula que interactúe con el campo: a menos que una perturbación creada por una partícula sea absorbida por la otra, nunca estuvo realmente allí. Si la descripción anterior tiene alguna validez, ¿hay alguna forma de hacerla más precisa para explicar la no observabilidad de los bosones intercambiados?

Otro refinamiento sería no imaginar las partículas que interactúan como un tipo clásico de partículas puntuales, sino como los cuantos de perturbación de sus propios campos. En la imagen directa no es difícil imaginar cualquier tipo de interacción, pero no está tan claro cuál sería el papel de un campo mediador de fuerzas.

Como aplicación particular, me interesaría saber cómo podría imaginarse la libertad asintótica en la QCD en términos de dicha imagen. ¿Hay que trasladar primero la alta energía a la corta distancia (sólo en la primera imagen en la que las partículas son puntos)? Si es así, ¿podemos ver lo que significaría que el acoplamiento es bajo a separaciones muy cortas? ¿O deberíamos ver la alta energía como la perturbación del campo de la materia para que consista en fluctuaciones de muy alta frecuencia, y podemos ver lo que significa que a altas frecuencias los campos interactúan poco?

¿Hay alguna validez en estas imágenes mentales? En caso afirmativo, ¿cuál sería la más precisa y cómo podría corregirse o perfeccionarse?

Answer 1

También me gusta tener "imágenes mentales" (como tú las llamas) para el concepto abstracto :)

Intentaré compartir con vosotros una imagen que tengo en mente cuando hago cálculos de QFT. Por favor, ignora esta respuesta si no te ayuda.

El de la QFT interactiva que tengo no incluye partículas en absoluto. Imagino los campos cuánticos como campos fluctuantes sobre el espaciotiempo que integramos en la integral de trayectoria. La pregunta que nos gustaría responder en este enfoque es -dado un funcional particular de campos, digamos un producto de campos en diferentes puntos del espaciotiempo- ¿cuál es el valor de la expectativa del producto? En otras palabras, ¿cuál es el valor de la integral de trayectoria

$$ \left< \phi_1 (x_1) \dots \phi_k (x_k) \right> = \int {\mathcal D}\phi_1 \dots {\mathcal D}\phi_n \; e^{i S[\phi_1,\dots,\phi_n] \, / \, \hbar} \phi_1(x_1) \dots \phi_k(x_k). $$

Las medidas pueden elegirse de forma que $$ \left< 1 \right> = 1, $$

que hace desaparecer el infinito del factor de normalización.

Sé que probablemente buscas algo con menos matemáticas. Pero me gustaría tratar de convencerte de que esta imagen es increíblemente útil y bastante simple de trabajar.

En esta imagen, el campo como que "desaparece", es decir, lo siguiente. Las predicciones reales de la teoría, las cosas que nos gustaría calcular, no dependen de $\phi(x)$ en absoluto. En cambio, dependen de $k$ puntos del espacio-tiempo. El campo fluctuante $\phi(x)$ es útil para derivar los resultados, pero no los introduce explícitamente.

1. El propagador de la teoría libre y el teorema de Wick se derivan de la integral de la trayectoria casi instantáneamente. Como ejemplo de la prueba formal, considere lo siguiente. Consideremos la expectativa $$ \left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi e^{i S[\phi]} \phi(y). $$ ¿Y si cambio la variable ficticia de integración por un desplazamiento constante de $\delta \phi(x)$ ? La medida es formalmente invariable, y el valor de la integral no puede cambiar: $$ 0 = \delta \left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi \left( e^{i S[\phi]} i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + e^{i S[\phi]} \cdot \delta \phi(y) \right) = \left< i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + \delta \phi(y) \right> $$ $$ = \int d^4 x \; \delta \phi(x) \; \left< i \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(x)} \phi(y) + \delta^{(4)} (x - y) \right>. $$ Para la teoría libre, $\delta S / \delta \phi(x) = \hat{\Theta} \phi(x)$ donde $\hat{\Theta}$ es algún operador diferencial lineal que genera las ecuaciones de movimiento, por lo que tenemos $$ \hat{\Theta}_x \left< \phi(x) \phi(y) \right> = i \delta^{(4)} (x - y), $$ que es exactamente el resultado esperado: el propagador de la teoría libre es una función de Green del operador diferencial que genera las ecuaciones de movimiento.

2. Las reglas de Feynman se derivan de la integral de la trayectoria casi instantáneamente. Simplemente se expande a medida el exponencial del término de interacción en la acción. A partir de ahora podemos pensar en los diagramas de Feynman como en términos de la serie que se aproxima a la integral de trayectoria.

3. La regularización puede interpretarse como una modificación de la medida integral de la trayectoria ${\mathcal D}\phi$ . Es bastante conveniente, porque todavía tienes la ecuación anterior para la teoría regularizada finita.

4. Se pueden derivar fácilmente las reglas covariantes de Feynman incluso para las teorías gauge mediante el truco de Faddeev-Popov.

5. Las identidades de Ward son fáciles de derivar. La derivación se parece básicamente a la del punto 1, pero utiliza una variable de integración ficticia que se reetiqueta mediante transformaciones de simetría en lugar de un desplazamiento constante por $\delta \phi(x)$ .

6. Las anomalías pueden interpretarse como la no invariabilidad de la medida integral de la trayectoria bajo transformaciones de simetría. La identidad anómala de Ward puede derivarse mediante la regularización de la medida.

7. La aproximación es explícitamente invariante de Lorentz, y de hecho, explícitamente invariante bajo todas las transformaciones de simetría. Las regularizaciones pueden romper esta propiedad, pero yo diría que la invariancia de Lorentz, que se rompe al regularizar y se espera que reaparezca después de quitar la regularización, sigue siendo mucho más fácil de tratar en el enfoque de la integral de trayectoria.

Este panorama tiene sus inconvenientes, por supuesto. A pesar de que es extremadamente sencillo e intuitivo pensar en términos del campo fluctuante sobre el que integramos, no ofrece la imagen completa. Por ejemplo, el espacio de estados asintóticos (espacio de Fock) tiene que derivarse de forma independiente, y la fórmula de reducción debe utilizarse para expresar las amplitudes de transición entre los estados asintóticos en términos de la expectativa integral de la trayectoria de algún funcional.