Convergencia en medida y casi en todas partes

Question

En un espacio de medida finita, que $\{f_{n}\}$ sea una secuencia de funciones mensurables. Mostrar que $f_{n} \rightarrow f$ en medida si y solamente si cada subsequence $\{f_{n_{k}}\}$ contiene un subsequence $\{f_{n_{k_{j}}}\}$, que converge casi por todas partes a f.

Puedo probar de converger en la medida que convergen casi en todas partes, pero no sé cómo escribir para la otra dirección.

Answer 1

Asumir $\{f_n\}$ converge pointwise e.a. $f$. $\varepsilon > 0$ De fijar y definir: $ E_N = \{x \in X \mid \exists n > N: |f_n(x) - f (x) | > \varepsilon\} $$

Tenemos $E_1 \supset E_2 \supset \cdots$ y $\mu(E_1) \le \mu(X) < \infty$. Además, puesto que $\{f_n\}$ converge pointwise e.a. $f$, tenemos $\mu\left(\bigcap_{N \in \mathbb{N}} E_N\right) = 0$.

Por lo tanto, $\lim_{N \to \infty} \mu(E_N) = 0$ y nos podemos encontrar un $N$ que $\mu(E_N) < \varepsilon$.

Lo que está claro: $$ \{x \in X \mid \forall n > N: |f_n(x) - f (x) | > \varepsilon\} \subset E_N $$

Por lo tanto, converge la $\{f_n\}$ $f$ en la medida.

Answer 2

Si no, entonces para algunos $\varepsilon>0$ y c > 0, existe a subsequence de $f_n(x)$, por ejemplo $f_{n_k}(x)$, que satisface $\forall n_k$,
$m\{x \in X : |f_{n_k}(x) - f(x)| > \varepsilon\}>c $ (*)

Ya que $f_{n_k}(x)$ tiene un subsequence $g_n(x)$, que converge casi por todas partes a $f(x)$, y que el problema se discute en un espacio de medida finita, podemos decir $g_n(x)$ converge a $f(x)$ en la medida. Sin embargo, contradice la existencia de $f_{n_k}(x)$. $g_n(x)$ es un subsequence de $f_{n_k}(x)$, pero no siga (*).

Answer 3

Voy a utilizar la pista de prueba de Kolmogorov del libro sugerir dos posibles pruebas.

$\textbf{Hint}$. Deje $\left \lbrace \delta_n \right \rbrace$ ser una secuencia de números positivos tal que \begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty}\delta_n=0, \end{align*} y deje $\left \lbrace \epsilon_n \right \rbrace$ ser una secuencia de números positivos tal que \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n < \infty . \end{align*} Deje $\left \lbrace n_k \right \rbrace$ ser una secuencia de enteros positivos tal que $n_k>n_{k-1}$ y \begin{align*} \mu \left \lbrace x: \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \geq \delta_k\right\rbrace < \epsilon_k \qquad (k=1,2,...). \end{align*}

Por otra parte, vamos

\begin{align*} R_i = \bigcup_{k=i}^{\infty} \left \lbrace x: \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \geq \delta_k \right\rbrace, \qquad Q=\bigcap_{i=1}^{\infty}R_i. \end{align*}

A continuación,$\mu(R_i)\rightarrow\mu(Q)$$i\rightarrow \infty$, ya que el $R_1\supset R_2 \supset \cdot\cdot\cdot$. Por otro lado, \begin{align*} \mu(R_i) < \sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n, \end{align*} y, por tanto,$\mu(R_i)\rightarrow 0$, por lo que el $\mu(Q)=0$.

Ahora muestran que $\left\lbrace f_{n_k} \right\rbrace$ converge a$f$$E-Q$.

$\textbf{Alternative 1}$

Deje $B_k=\left\lbrace x: \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \geq \delta_k \right\rbrace$.

Tenga en cuenta que \begin{align*} \forall x\in (E-Q) \implies x \notin Q \implies x \notin \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i \implies x \notin R_i \, \text{ for some } i \implies x \notin B_k \, \text{ for } k \geq i . \end{align*}

De hecho esto implica que no es $k\geq i$ que $\left| f_{n_k}(x) - f(x) \right|\geq \delta_k$ mantiene en $E-Q$, ya que de lo contrario estaría contenida en cada $R_i$ y, por tanto, en $Q$.

Así tenemos que en $E-Q$ no es $k\geq i $ tal que $\left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \geq \delta_k$ lo que implica que la verdad es lo contrario, es decir, para todos los $k\geq i$, $\left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| < \delta_k$, donde $\delta_k \rightarrow 0$ $k\rightarrow \infty$ (por definición). Así que tenemos que $f_n(x)\rightarrow f(x), \, \forall x \in (E-Q)$, y, finalmente, que el $f_n(x)\rightarrow f(x) \, a.e.$ desde el set $Q$ tiene medida cero.

$\textbf{Alternative 2}$

Deje $B_k=\left\lbrace x: \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \geq \delta_k \right\rbrace$.

Tenemos \begin{align*} (E-Q) &= E-\bigcap_{i=1}^{\infty}R_i=\bigcup_{i=1}^{\infty}(E-R_i)=\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i^{\complement} \\ &=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left( \bigcup_{k=i}^{\infty}B_k\right)^\complement \bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcap_{k=i}^{\infty}B_k^{\complement} \end{align*}

\begin{equation} (E-Q)=\bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcap_{k=i}^{\infty} \left\lbrace x: \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| < \delta_k \right\rbrace. \end{equation}

A partir de la última ecuación, podemos leer que en este conjunto existe un entero $i$ tal que para todos los $k\geq i$, por lo que $\left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| $ es de menos de $\delta_k$ que ser arbitrariamente pequeño, lo que implica la convergencia de $f_{n_k}$$f$$(E-Q)$.