Completar los números reales

Question

En la línea real $\mathbb{R}$ dotado de la topología euclidiana, puedo poner diferentes métricas, induciendo la misma topología, pero induciendo diferentes terminaciones. Por ejemplo, si se considera la distancia euclidiana estándar, se obtiene $\mathbb{R}$ mismo, si veo $\mathbb{R}$ como $(0,1)$ y considero la métrica inducida, entonces obtengo $[0,1]$ De la misma manera, puedo obtener $S^1$ y del mismo modo puedo obtener $\mathbb{R}_{\geq 0}$ .

¿Cuáles son las posibles terminaciones de $\mathbb{R}$ respecto a una métrica compatible con la topología euclidiana?

Answer 1

Editar: He escrito una versión mucho más sencilla de la prueba del teorema principal.

Demostraré que cada terminación de $\mathbb{R}$ se obtiene uniendo $\mathbb{R}$ a un "espacio en el infinito", al que la línea "converge" en sus extremos. Los ejemplos de la curva del seno del topólogo (junto con un intervalo a lo largo de la $y$ -) y una espiral que converge en un círculo dada por MartianInvader son buenos ejemplos de este fenómeno.

Para precisar esto, dejemos que $X$ sea una terminación de $\mathbb{R}$ y definir el espacio en el infinito para ser el complemento $X-\mathbb{R}$ . Vamos a demostrar varios hechos sobre esta situación.

$\mathbb{R}$ es denso y abierto en $X$ y la inclusión $\mathbb{R}\to X$ es una incrustación.

MartianInvader demostró que $\mathbb{R}$ se incrusta densamente. Para demostrar que $\mathbb{R}$ es abierto, considere un intervalo abierto $(a,b)$ . El intervalo cerrado correspondiente $[a,b]$ es compacto y, por tanto, cerrado en $X$ Así que $[a,b]$ debe ser el cierre de $(a,b)$ . Pero $\mathbb{R}$ está integrado en $X$ por lo que existe un conjunto abierto $U\subset X$ para que $U\cap \mathbb{R} = (a,b)$ . Desde $\mathbb{R}$ es denso en $X$ el intervalo $(a,b)$ debe ser denso en $U$ de lo que se deduce que $U=(a,b)$ . Así, todo intervalo abierto en $\mathbb{R}$ está abierto en $X$ y se deduce que $\mathbb{R}$ está abierto en $X$ .

Tenga en cuenta que $\mathbb{R}$ estar abierto significa que alguna parte de $X$ realmente "parece" $\mathbb{R}$ . Es decir, $X$ realmente es una línea con cosas atadas a los extremos.

El espacio en el infinito es un espacio métrico completo y separable.

Desde $\mathbb{R}$ está abierto en $X$ el espacio $X-\mathbb{R}$ en el infinito es cerrado en $X$ . Desde $X$ es completa, se deduce que $X-\mathbb{R}$ está completo.

En cuanto a la separabilidad, observe que $X$ es separable, ya que $\mathbb{Q}$ es denso en $X$ . Entonces $X$ es segundo contable, por lo que $X-\mathbb{R}$ debe ser segundo contable, y por tanto separable.

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Entonces, ¿qué espacios métricos completos y separables son posibles? A partir de la curva del seno del topólogo y de la espiral, está claro que un intervalo cerrado y un círculo son posibles.

No es difícil darse cuenta del cuadrado de la unidad $[0,1]^2$ como el espacio en el infinito. Por ejemplo, si $\gamma\colon [0,1]\to[0,1]^2$ es una curva cerrada que llena el espacio, sea $S_\gamma$ sea el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$ . $$ S_\gamma \;=\; \bigl\{\bigl(x,\gamma(1/x-\lfloor 1/x\rfloor)\bigl) \;\bigl|\; x\in (0,\infty)\bigr\} \cup \bigl(\{0\}\times [0,1]^2\bigr) $$ La siguiente imagen muestra una parte de este conjunto en el caso de que $\gamma$ es el Curva de Moore .

El conjunto $S_\gamma$ puede considerarse como una variante de la curva de topología, con $\gamma$ haciendo el papel de la función sinusoidal. A continuación, $S_\gamma$ está cerrado en $\mathbb{R}^3$ y, por tanto, completa, y tiene como espacio en el infinito un cuadrado cerrado.

Una construcción similar muestra que cualquier espacio métrico $X$ que es una imagen continua del intervalo unitario $[0,1]$ puede ser el espacio en el infinito, que por la Teorema de Hahn-Mazurkiewicz incluye todos los espacios métricos compactos, conectados y localmente conectados. Sin embargo, éstas no son las únicas posibilidades. Por ejemplo, el conjunto $$ X \;=\; \left\{\left.\left(x,\frac{\sin(1/x)}{x}\right)\right| x\in (0,\infty)\right\} \cup (\{0\}\times \mathbb{R}) $$ es una terminación de $\mathbb{R}$ que tiene otra copia de $\mathbb{R}$ como el espacio en el infinito, y $\mathbb{R}$ no es una imagen continua de $[0,1]$ .

Resulta que cualquier espacio métrico completo y separable puede ser el espacio en el infinito para una terminación de $\mathbb{R}$ . ( Editar: La prueba de esto proporcionada a continuación es completamente diferente de mi versión original utilizando el Espacio Baire .) Para demostrarlo, empezaremos con el siguiente lema.

Lema. Cualquier espacio métrico completo y separable puede ser el espacio en el infinito para una terminación de los números naturales $\mathbb{N}$ .

Prueba: Dejemos que $M$ sea un espacio métrico completo y separable, y sea $D$ sea un subconjunto denso contable de $M$ . Sea $$ p_1,p_2,p_3,\ldots $$ sea una secuencia en $M$ que visita cada punto de $D$ infinitamente a menudo, y extender la métrica en $M$ a una métrica en $\mathbb{N} \cup M$ de la siguiente manera:

1. Si $n\in\mathbb{N}$ et $q\in M$ entonces $d(n,q) \;=\; \dfrac{1}{n} + d(p_n,q)$ .

2. Si $m,n\in\mathbb{N}$ et $m\ne n$ entonces $d(m,n) \;=\; \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} + d(p_m,p_n)$ .

Es fácil comprobar que esto define una métrica en $\mathbb{N}\cup M$ . Dado que la secuencia $p_1,p_2,\ldots$ golpea cada punto de $D$ infinitamente a menudo, cada punto de $D$ se encuentra en el cierre de $\mathbb{N}$ y, por lo tanto, todos los $M$ se encuentra en el cierre de $\mathbb{N}$ . Es evidente que cada punto de $\mathbb{N}$ está aislado en $\mathbb{N}\cup M$ por lo que la inclusión $\mathbb{N}\to\mathbb{N}\cup M$ es una incrustación. Por último, no es difícil demostrar que $\mathbb{N}\cup M$ es completa bajo la métrica dada.

Teorema. Cualquier espacio métrico completo y separable puede ser el espacio en el infinito para una terminación de $\mathbb{R}$ .

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico completo y separable, y sea $\mathbb{Z}\cup M$ denotan una terminación de $\mathbb{Z}$ cuyo espacio en el infinito es isométrico a $M$ . (En el lema hemos demostrado que $\mathbb{N}$ tiene esa terminación, pero $\mathbb{N}$ es homeomorfo a $\mathbb{Z}$ .) Utilizaremos $\mathbb{Z}\cup M$ para construir una terminación de $\mathbb{R}$ con el mismo espacio en el infinito.

La construcción es sencilla: para cada $n\in\mathbb{Z}$ pegaremos un segmento geodésico desde $n$ a $n+1$ y la unión de estos segmentos será la copia deseada de $\mathbb{R}$ . Es decir, extendemos la métrica sobre $\mathbb{Z}\cup M$ a una métrica en $\mathbb{R}\cup M$ de la siguiente manera:

1. Si $x,y\in\mathbb{R}$ se encuentran en el mismo intervalo $[n,n+1]$ definimos $$ d(x,y) \;=\; \frac{|x-y|}{d(n,n+1)}. $$

2. Si $x\in [n,n+1]$ et $p\in M$ definimos $$ d(x,p) \;=\; \min\biggl(d(x,n)+d(n,p),\;d(x,n+1)+d(n+1,p)\biggr). $$

3. Por último, si $x,y\in\mathbb{R}$ se encuentran en dos intervalos diferentes $[m,m+1]$ et $[n,n+1]$ definimos \begin{align*} d(x,y) \;=\; \min\biggl(&d(x,m)+d(m,n)+d(n,y), \\ &d(x,m)+d(m,n+1)+d(n+1,y), \\[6pt] & d(x,m+1)+d(m+1,n) + d(n,y),\\ &d(x,m+1)+d(m+1,n+1)+d(n+1,y)\biggr). \end{align*}

Es fácil comprobar que esto define una métrica en $\mathbb{R}\cup M$ y que la inclusión $\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup M$ es una incrustación. Claramente $\mathbb{R}$ es denso en $\mathbb{R}\cup M$ ya que cada punto de $M$ es un punto límite de $\mathbb{Z}$ . No es difícil demostrar que $\mathbb{R}\cup M$ es de hecho completa, por lo que $\mathbb{R}\cup M$ es una terminación de $\mathbb{R}$ con $M$ como el espacio en el infinito.

Answer 2

Cualquier espacio métrico completo con una incrustación densa de $\mathbb{R}$ .

Aquí tienes un boceto de la prueba: Cualquier espacio que sea una terminación de $\mathbb{R}^1$ obviamente tiene una incrustación de este tipo (la inclusión). Y si un espacio métrico $X$ tiene una incrustación densa de $\mathbb{R}^1$ entonces la métrica inducida en $\mathbb{R}^1$ debe completar para $X$ (alguna secuencia de puntos en $\mathbb{R}^1$ convergen a cualquier punto en $X$ y como la topología es inducida por la métrica esta secuencia será Cauchy).

Esta es una gran clase de espacios, e incluye:

• Intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos
• El círculo, el círculo con un segmento de línea unido, la figura del ocho y dos círculos unidos por un segmento de línea
• Construcciones interesantes en $\mathbb{R}^2$ como el curva sinusoidal del topólogo descrito por Abraham Frei-Pearson o una espiral infinita que se acerca a un círculo (junto con el círculo)

Básicamente, si puedes empezar a "garabatear" con un bolígrafo en algún espacio euclidiano, y garabatear para siempre sin volver a cruzar tu camino, el cierre del espacio en el que acabes garabateando será una terminación métrica de $\mathbb{R}$ .