¿aplicación de la regla de L'Hopital?

Question

Estoy tratando de evaluar el siguiente límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\sum_{n = 1}^\infty n^k e^{-nx}},$$ donde $k$ es un número entero positivo grande (pero fijo). No estoy seguro de cómo proceder. ¿Se puede hacer esto utilizando la regla de L'Hopital? Acabo de empezar a aprender cálculo, ¡¡gracias chicos!!

Answer 1

Para cada $x\lt\frac12$ Hay un $n\in\mathbb{N}$ para que $1\lt\frac1x-1\le n\lt\frac1x$ . La elección de este término da $$\sum_{n=0}^\infty n^ke^{-nx}\ge \left(\frac1x-1\right)^ke^{-1}$$ Como $x\to0^+$ , $\left(\frac1x-1\right)^ke^{-1}\to\infty$

Answer 2

Para cualquier $N\in \mathbb N,$ que tenemos para $x>0$ que

$$\frac{e^x}{\sum_{n=1}^{\infty}n^ke^{-nx}} < \frac{e^x}{N^ke^{-Nx}}.$$

Así,

$$0\le \limsup_{x\to 0^+} \frac{e^x}{\sum_{n=1}^{\infty}n^ke^{-nx}} \le \limsup_{x\to 0^+}\frac{e^x}{N^ke^{-nx}} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{N^ke^{-Nx}} = \frac{1}{N^k}.$$

Desde $N$ es arbitraria, el $\limsup$ a la izquierda es arbitrariamente pequeño, por lo que es igual a $0.$ Por lo tanto, el límite es $0$ de la derecha.

(Obsérvese que a la izquierda de $0$ la suma en el denominador de nuestra expresión es idéntica $\infty.$ No sé qué pensar de eso).

Answer 3

Creo que el conjunto converge a 0 (cero), porque el numerador converge a 1 y el denominador converge a infinito.

Answer 4

No necesitas la regla de L'Hopital; intenta sustituirla por $0$ para $x$ y ver lo que obtienes.