Definir la función de $g_n\left(z\right)=\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$$\:n\in \mathbb{R^+}$. Entonces
$$\frac{d}{dz}g_n\left(z\right)=n\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}=\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n-1}$$
Definir $g_{\infty}\left(z\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }g_n\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$, a continuación, observe que
$$\frac{d}{dz}g_{\infty}\left(z\right)=\frac{d}{dz}\left(\lim _{n\rightarrow \infty }g_n\left(x\right)\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{d}{dz}g_n\left(z\right)$$$$=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n-1}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n}{1+\frac{z}{n}} =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=g_\infty\left(z\right)$$
Teniendo en cuenta que $g_n\left(0\right)=1\: \forall\:n\in \mathbb{R^+}$, tenemos la ecuación diferencial
$$\frac{d}{dz}g_{\infty}\left(z\right)=g_\infty\left(z\right),\,g_\infty \left(0\right)=1$$
Que también ha $e^z$ como una solución. Sin embargo, el diferencial por encima de la ecuación tiene una única solución, por lo tanto, $$g_\infty \left(z\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z\,\,\blacksquare$$
Se me ocurrió esta prueba a mí mismo, y creo que es muy elegante, pero no estoy seguro en cuanto a la validez de la prueba. Algo que no nos parece bien a mí. ¿Hay algún inválido declaraciones o extremos sueltos para esta prueba? También, de lo útil que es esto como una prueba de que el límite? Usted no necesita saber la teoría de ecuaciones diferenciales, porque había reconocer fácilmente que $e^z$ es su propia derivada. Hay algo en ella que podría hacerlos inaccesibles, asumiendo que usted sabe que $\frac{d}{dz}e^z=e^z$?
