Vamos a denotar la regular Laplaciano en $\mathbb{R}^n$ actuando en funciones por $\tilde{\Delta}$. El producto de la regla de $\tilde{\Delta}$ dice que
$$ \tilde{\Delta}(\alpha \omega) = \tilde{\Delta}(\alpha) \omega + 2 \nabla \alpha \cdot \nabla \omega + \alpha \tilde{\Delta}(\omega). $$
Esto implica que si $\tilde{\Delta}(\omega)(0) = 0$ $(\nabla \omega)(0) = 0$
$$ \tilde{\Delta}(\alpha \omega)(0) = \tilde{\Delta}(\alpha)(0) \cdot \omega(0). $$
El general de los casos se reduce a la observación anterior mediante el uso normal de coordenadas. Nota: primero que si $\nabla \omega = 0$ implica que el $\Delta \omega = 0$. Deje $p \in M$ y elija normal coordenadas $\varphi \colon U \rightarrow V$ $p \in U \subseteq M$ donde $V \subseteq \mathbb{R}^n$, $\varphi(p) = 0$ y $\varphi = (x^1,\dots,x^n)$. Escribir $\omega = \sum_{I} \omega_I dx^I$ $\alpha = \sum_{J} \alpha_J dx^J$ y establezca $\tilde{\omega_I} = \omega_I \circ \varphi^{-1}, \tilde{\alpha_J} = \alpha_J \circ \varphi^{-1}$. Entonces
$$ 0 = \nabla_{\partial_j}(\omega)(p) = \sum_{I} \frac{\partial \tilde{\omega_I}}{\partial x^j}(0) dx^I|_{p}$$
lo que implica que
$$ \frac{\partial \tilde{\omega_I}}{\partial x^j}(0) = 0 $$
para todos los $1 \leq j \leq n$ y todos los $I$. Del mismo modo,
$$ 0 = \Delta(\omega)(p) = \sum_{I} -\tilde{\Delta}(\tilde{\omega_I})(0) dx^I|_{p} $$
lo que implica que $\tilde{\Delta}(\tilde{\omega_I})(0) = 0$ todos los $I$. Finalmente,
$$ \Delta(\alpha \wedge \omega)(p) = \sum_{I,J} \Delta
\left( \alpha_J \omega_I dx^J \wedge dx^I \right)(p) = \sum_{I,J} -\tilde{\Delta} \left( \tilde{\alpha}_J \tilde{\omega}_I \right)(0) dx^J \wedge dx^I|_{p} = \\\sum_{I,J} -\tilde{\Delta}(\tilde{\alpha}_J)(0) \tilde{\omega_I}(0) dx^J \wedge dx^I|_{p} = \left( \sum_{I} \tilde{\Delta}(\tilde{\alpha}_J)(0) dx^J \right) \wedge \left( \sum_{J} \tilde{\omega_I}(0) dx^I|_{p} \right) = \Delta(\alpha)(p) \wedge \omega(p).$$
