Cohomología de grupos finitos con coeficientes finitos

Question

Me pregunto si puede hacerse no trivial con una buena opción de un finito $G$-módulo M la cohomología de grupo de un grupo finito $G$. ¿En otras palabras, dado un grupo finito $G$ y un número $n$, hace allí existen un finito $G$-módulo $M$ tal que $H^n(G,M)$ no es cero?

También estaría interesado en el caso especial que $G$ es un finito $p$-grupo y n = 2. ¿Siempre puedo $H^2(G,M) \ne 0$ $M$ finito?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, para cada una de las $n\ge 0$ no es un porcentaje ($G$- módulo de $M$ (dependiendo $n$) tal que $H^n(G,M)\neq 0$ (siempre $G\neq 1$ finito). .

Tal $M$ puede ser construido por inducción:

1. Primera nota de que $H^i(G,F)=0$ por cada $\mathbb{Z}G$-módulo de $F$ y todos los $i>0$ por Shapiro del lexema y Marrón, VIII, 5.2.

2. A continuación se muestra $H^1(G,I_G)=\mathbb{Z}/|G|$ donde $I_G \trianglelefteq \mathbb{Z}G$ es el aumento ideal (y $G$-acción está dada por la multiplicación en $\mathbb{Z}G$).

3. Deje $n\ge 2$ y supongamos $N$ $G$- módulo tal que $H^{n-1}(G,N) \neq 0$. Elija una breve secuencia exacta $0 \to M \to F \to N\to 0$ $G$- módulos con $F$ gratis. Luego, el largo de la secuencia exacta en cohomology y 1. obtenemos la secuencia exacta $$0=H^{n-1}(G,F) \to H^{n-1}(G,N) \to H^n(G,M) \to H^n(G,F)=0,$$ es decir,$H^n(G,M)\cong H^{n-1}(G,N)\neq 0$.

Nota: comenzando con $I_G$ incluso se puede organizar $H^n(G,M)=\mathbb{Z}/|G|$.

Answer 2

Es bien sabido que, si $G$ y $M$ finitos $p$-grupos, es equivalente a $H^2(G,M)=0$ % todo $H^i(G,M)=0$$i \geq 0$.

Si uno toma cualquier $M$ en que $G$ trivial, actúa entonces $H^1(G,M) \cong Hom(G,M)$, que no es trivial a menos que $M$ $G$ son triviales.