Que $f(a,b)$ es uno a uno

Question

Que $$A=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x>0, y>0\}$$ and define $f:A\to\mathbb R ^ 2$ by $$f(a,b)=(a+b^2,2a^2+b).$$ Show that $f $ is one-to-one on $A$.

Sé que una función es uno a uno si se asignan todos los valores de la gama a lo más un valor en el dominio, pero ¿mostrar esta $f$?

Answer 1

usted necesita demostrar que $f$ es inyectiva y surjective. para mostrar de inyectividad que usted necesita para demostrar que si: $$ f(a,b) = f(c,d) $$ entonces $$ a=c \\ b=d $$ este es un buen poco de ejercicio en el álgebra, así que no voy a estropear la diversión de hacerlo por usted!

para mostrar surjectivity que usted necesita para demostrar que las ecuaciones: $$ x^2+y = s \\ x +2y^2 = t $$ con $s,t \gt 0$ siempre tiene una solución con $x, y \gt 0$. sustitución de darle un grado de cuatro ecuación en $x$ o $y$, el cual resuelve una ecuación cuadrática en $x^2$ o $y^2$, por lo que necesita para demostrar que esta ecuación cuadrática tiene una raíz real positiva, que es menos de $s$ ($x$de los casos) o menos de $\frac{t}{\sqrt{2}}$ ($y$de los casos)