Expresión explícita para el homeomorfismo y la equivalencia de homotropía

Question

En muchos casos de topología cuando se necesita mostrar dos espacios $X$ y $Y$ son equivalentes a la homeomórfica o a la homotropía, se utiliza alguna descripción en lugar de construir un homeomorfismo explícito o una equivalencia de homotropía. Un ejemplo es mostrar el " Casa con dos habitaciones " es contraíble.

Para algunos principiantes en topología puede que no se sientan "cómodos" con este tipo de pruebas: "¿Es realmente una prueba estricta?" podría ser una pregunta que algunos principiantes tienen en su mente.

Otro ejemplo es un ejercicio fácil que muestra que $S^{n-1} \subseteq S^n-\{N,S\}$ es una fuerte retracción de deformación, donde $N=\{0, \cdots , 0, 1\}$ y $S=\{0, \cdots , 0, -1\}$ . Intuitivamente parece obvio (al menos para $n=2$ ); pero para encontrar una expresión explícita de retracción de deformación fuerte se necesita hacer un trabajo. ¿Es realmente necesario encontrar una expresión explícita para ejercicios como este?

Si uno está satisfecho con una visualización no estricta, lo cual es bastante sencillo para $n=2$ entonces, ¿qué pasa con las grandes $n$ 's? Puede que no sea trivial que los principiantes visualicen $S^3$ y $S^4$ por ejemplo.

Answer 1

Para los estudiantes que aprenden por primera vez la asignatura, en mi opinión es realmente muy importante hacer el trabajo de escribir expresiones explícitas.

Es importante destacar que la afirmación " $X$ es homeomorfo a $Y$ " o " $X$ es equivalente en homotopía a $Y$ " es en su raíz una declaración de existencia: alguna función, que satisface algunas propiedades, existe . Y la prueba de un enunciado de existencia en su raíz es escribir una expresión explícita.

También me gusta destacar que la parte más imaginativa y creativa de las matemáticas es soñar con cosas nuevas cuya existencia no se imaginaba antes: ¡una casa con dos habitaciones! ¿Quién lo hubiera imaginado? Una vez que has tenido un sueño exitoso, entonces comienza el trabajo, demostrar rigurosamente que esa cosa que soñaste realmente existe, y para ello debes escribir una expresión explícita.

Estas expresiones suelen resultar bastante sencillas al final, ya que son fórmulas que implican cosas estándar de un curso de cálculo. Su ejemplo de $S^{n-1} \subset S^n$ en el caso $n=2$ , implica sólo coordenadas esféricas. A continuación, los alumnos se plantean cómo generalizar las coordenadas esféricas a dimensiones superiores.

A medida que adquirimos más experiencia, aprendemos a tomar atajos productivos en nuestras pruebas de existencia. Pero eso sólo ocurre cuando hemos aprendido a ser muy explícitos al escribir las expresiones necesarias.

Answer 2

Tengo cierta simpatía por Zuriel. En los años 60, cuando escribía la primera edición de lo que ahora es Topología y Groupoides Me desconcertaron algunos trabajos en los que se escribía un complicado diagrama con fórmulas para una homotopía en cada bit, y sentí que esto era difícil de desarrollar por mí mismo, o de explicar a los lectores. Así que poco a poco exploré el formalismo subyacente, y llegué, por ejemplo, a un teorema de encolado para las equivalencias de homotopía, que ahora forma parte de la teoría abstracta de la homotopía, aunque la prueba original tiene algunas ventajas al dar el control de las homotopías implicadas. Véase esto mathoverflow para una referencia.

Poder dar un álgebra para las homotopías es también parte de la motivación de los grupos de homotopía superior. Un ejemplo de ello son las "rotaciones" que encontrará en la sección 6.4 del libro sobre Topología algebraica no abeliana .

Parte de la motivación del trabajo para ese libro fue dar expresión a las "inversiones algebraicas a la subdivisión", y esa fue una razón importante para el enfoque cúbico.

Este debate también es relevante para este mathoverflow discusión.

8 de julio de 2014: Añado que en 1958 en el ICM de Edimburgo escuché a Raoul Bott comentar: "¡Grothendieck estaba dispuesto a trabajar muy duro para que las cosas fueran tautológicas!". Esto me parece un objetivo admirable, que las pruebas dejen claro por qué las cosas son verdaderas, no sólo se siguen "por un cálculo" o de una aparente ad hoc diagrama.