Identidad de Fibonacci

Question

Los números de Fibonacci, dados por $f_0 = 1$ , $f_1 = 1$ et $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$ para $n \geq 2$ tienen muchas propiedades interesantes. Muchas de estas propiedades interesantes se pueden demostrar fácilmente combinatorialmente interpretando los números de Fibonacci como el número de maneras,de embaldosar un $1\times n$ tablero con casillas ( $1\times 1$ fichas) y dominó ( $1\times 2$ tejas). Esta interpretación se ha generalizado para interpretar relaciones de recurrencia con coeficientes enteros no negativos y conos iniciales. coeficientes enteros y condiciones iniciales. En especial, $$g_n = \sum_{i = 1}^{k} a_ig_{n-i}$$ con el $a_i$ s enteros no negativos pueden interpretarse como el número de maneras de embaldosar un tablero de longitud $n$ con baldosas de longitud $1$ a través de $k$ donde las baldosas de longitud $i$ se les da una de $a_i$ colores, y el primer azulejo recibe un número determinado de fases en función del $a_i$ las condiciones iniciales y la longitud. ¿Puede generalizarlo?

Answer 1

Recuerdo muchos trabajos en este sentido, lo que se confirma con una rápida búsqueda en Internet, por ejemplo

Combinatoria de recurrencias lineales

Recurrencias lineales mediante tilings y cadenas de Markov

Identidades clásicas de la serie q mediante tilings

Un enfoque en mosaico de ocho identidades de Rogers