Hallar el interior, los puntos de acumulación, el cierre y el límite del conjunto

Question

Necesito encontrar el interior, los puntos de acumulación, el cierre y el límite del conjunto

$$ A = \left\{ \frac1n + \frac1k \in \mathbb{R} \mid n,k \in \mathbb{N} \right\} $$ y utilizar la información para determinar si el conjunto es acotado, cerrado o compacto.

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Hasta ahora, tengo que el interior está vacío, pero no estoy seguro de cómo probarlo. Mis pensamientos son para fijar $n$ y entonces los puntos de acumulación serían $\left\{ \frac 1n \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ . Pero no estoy seguro de que sea correcto. Entonces, creo que el límite es $[0,2]$ . ¿Alguien puede confirmarlo?

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

CONSEJOS: $\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$ Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $$A_n=\left\{\frac1n+\frac1k:k\in\Bbb Z^+\right\}\;.$$

1. Claramente $A_n\subseteq A$ por lo que cada punto de acumulación de $A_n$ es un punto de acumulación de $A$ cuál es el único punto de acumulación de $A_n$ ?

2. Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $p_n$ sea el único punto de acumulación de $A_n$ y que $B=\{p_n:n\in\Bbb Z^+\}$ . Cada punto de acumulación de $B$ es un punto de acumulación de $A$ ¿por qué? ¿Cuál es el único punto de acumulación de $B$ ?

3. Demuestra que $\cl B$ es el conjunto de puntos de acumulación de $A$ .

Al visualizar $A$ puede resultar útil demostrar que para cada $n>1$ , $$A_n\setminus\left(\frac1n,\frac1{n-1}\right)$$ es finito (e incluso se puede calcular exactamente cuántos elementos tiene). En otras palabras, $A_n$ es casi un subconjunto del intervalo $\left(\frac1n,\frac1{n-1}\right)$ . Así es mucho más fácil ver dónde están los puntos de acumulación.

Answer 2

Consejo para el interior: un punto $x \in A$ es un punto interior, si y sólo si, existe un vecindario de $x$ que está completamente en $A$ . $A$ no sólo es un subconjunto de $\mathbb R$ sino también de $\mathbb Q$ . Recuerde que $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ .