Límite de $2^{n} n!/n^{n}$ $n \to \infty$

Question

Demostrar que el $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}} = 0$

$\rightarrow \frac{2^{n} n!}{n^{n}} = $ $(\frac{2}{n})^{n} n!$

¿Es posible decir que $\lim_{n \rightarrow \infty} $$\frac{2}{n}$ es $0$ y debido a esta razón $\lim_{n \rightarrow \infty} $$(\frac{2}{n})^{n}$ es $0$? ¿Y debido a este $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}} = 0$?

Gracias.

Answer 1

Que $a_n=\dfrac{2^{n} n!}{n^{n}}$. Entonces $ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1} (n + 1)!} {(n+1) ^ {n+1}} \dfrac{n^{n}}{2^{n} n!} = 2 \left (\dfrac {n} {n+1} \right) ^ n = 2 \dfrac{1}{\left (1 + \dfrac {1} {n} \right) ^ n} \to \dfrac2e < 1 $$

La prueba de proporción implica que converge la serie $\sum a_n$ y así $a_n \to 0$.

Puede evitar la prueba de relación señalando que $\dfrac2e<0.75$ y así $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 0.75$ $n \ge N$, que $a_n < 0.75^{n-N} a_N \to 0$.

Answer 2

No estoy seguro lo que se puede utilizar, así que trate de $t= e^{\log t}$ y luego Observe que $\log n! = \sum_{k=1}^{n} \log k \sim n \log -n +1$, en comparación con el integral. Entonces usted será capaz de cancelar algunos términos. ¿Se puede manejar desde aquí?

Answer 3

Bernoulli la Desigualdad dice que $\left(1+\frac1n\right)^n$ es un aumento de la secuencia. Así, por $n\ge2$, $$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}\\[3pt] &=\frac2{\left(1+\frac1n\right)^n}\\ &\le\frac2{\left(\frac32\right)^2}\\ &=\frac89 \end{align} $$ Por lo tanto, para $n\ge2$, $$ a_n\le a_2\left(\frac89\right)^{n-2} $$ Por lo tanto, podemos decir que para $n\ge2$, $$ 0\le\frac{2^nn!}{n^n}\le2\left(\frac89\right)^{n-2} $$ y por el Teorema del sándwich, tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2^nn!}{n^n}=0 $$

Answer 4

• señaló: $x=2^nn!$ $y=n^n$

1- simplificación:

$\frac{ln(x)}{ln(y)}=\frac{nln(2)}{nln(n)}+\frac{ln(n!)}{ln(n^n)}$

2- propiedad de:

$\lim \frac{x}{y}=0$ $\lim (\ln \frac{x}{y})=ln(0)=-\infty$

$lim(ln(y)-ln(x))=\infty$ $\rightarrow$ $y>x$

a partir de la gráfica que se muestra si $y>x$$y-ln(y)>x-ln(x)$, lo que significa $y-x>ln(y)-ln(x)$

$lim(lny-lnx)<lim(y-x)$ $\rightarrow$ $lim(y-x)=\infty$ $\rightarrow$ $lim(lne^y-lne^x)=\infty$

$\rightarrow$ $lim (ln\frac{e^y}{e^x})=\infty$ $\rightarrow$ $lim (ln\frac{e^x}{e^y})=-\infty$ $\rightarrow$ $$lim\frac{e^x}{e^y}=0$$

3- Calcular el límite

$lim_{n->\infty} \frac{ln(2)}{ln(n)}+\frac{ln(n!)}{ln(n^n)}=0+0=0$

$lim_{n->\infty} \frac{ln(x)}{ln(y)} =0$ significa

$lim_{n->\infty} \frac{e^{ln(x)}}{e^{ln(y)}} = 0$

$$lim_{n->\infty} \frac{x}{y} = 0$$